1.填空题lim_(xto1)(x^2-2x+1)/(x^2)-1=_.
题目解答
答案
将分子和分母因式分解，得
$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x + 1}.$
直接代入 $x = 1$，得
$\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0.$
或者使用洛必达法则，得
$\lim_{x \to 1} \frac{2x - 2}{2x} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x} = 0.$
答案： $\boxed{0}$
解析
考查要点：本题主要考查分式极限的计算方法，特别是处理$\frac{0}{0}$型不定式的能力。关键在于通过因式分解或洛必达法则消除不定式形式。
解题核心思路：
- 因式分解：将分子和分母分别分解，约去公因式后直接代入求值。
- 洛必达法则：对分子分母分别求导，转化为可计算的形式。
破题关键点：
- 识别分子和分母的因式分解形式，简化分式。
- 约分后直接代入或应用洛必达法则，避免直接代入原式导致错误。
步骤1：因式分解
分子 $x^2 - 2x + 1$ 是完全平方公式，分解为 $(x - 1)^2$；
分母 $x^2 - 1$ 是平方差公式，分解为 $(x - 1)(x + 1)$。
因此，原式可化简为：
$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x + 1}.$
步骤2：代入求值
约分后的表达式 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 在 $x = 1$ 处无定义，但极限存在。直接代入 $x = 1$：
$\frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0.$
步骤3（备选）：洛必达法则
原式为 $\frac{0}{0}$ 型，对分子分母分别求导：
分子导数为 $2x - 2$，分母导数为 $2x$，得：
$\lim_{x \to 1} \frac{2x - 2}{2x} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x} = \frac{0}{1} = 0.$