题目
5. (1.9分) 样本方差 D_(n)=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2 是总体 Xsim N(mu,sigma^2) 中 s^2 的无偏估计量。 D^*=(1)/(n)sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2 是总体 X 中 s2 的有偏估计。 A 对 B 错
5. (1.9分) 样本方差 $D_{n}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$ 是总体 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ 中 $s^{2}$ 的无偏估计量。
$D^{*}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$ 是总体 $X$ 中 $s2$ 的有偏估计。
A 对
B 错
题目解答
答案
对于总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本方差的期望值有如下性质：
1. **无偏估计量**：
$D_n = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$ 的期望值为
\[
E(D_n) = \sigma^2
\]
因为
\[
E\left[\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\right] = (n-1)\sigma^2
\]
故
\[
E(D_n) = \frac{1}{n-1} \cdot (n-1)\sigma^2 = \sigma^2
\]
2. **有偏估计量**：
$D^* = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$ 的期望值为
\[
E(D^*) = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2
\]
因为
\[
E(D^*) = \frac{1}{n} \cdot (n-1)\sigma^2 = \frac{n-1}{n}\sigma^2
\]
因此，题目描述正确，答案为 $\boxed{A}$。
解析
步骤 1：无偏估计量的定义
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。对于样本方差 $D_n$，如果 $E(D_n) = \sigma^2$，则 $D_n$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量。
步骤 2：计算 $D_n$ 的期望值
对于总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本方差 $D_n = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$ 的期望值为 \[ E(D_n) = \sigma^2 \] 因为 \[ E\left[\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\right] = (n-1)\sigma^2 \] 故 \[ E(D_n) = \frac{1}{n-1} \cdot (n-1)\sigma^2 = \sigma^2 \]
步骤 3：有偏估计量的定义
有偏估计量是指估计量的期望值不等于被估计参数的真实值。对于样本方差 $D^*$，如果 $E(D^*) \neq \sigma^2$，则 $D^*$ 是 $\sigma^2$ 的有偏估计量。
步骤 4：计算 $D^*$ 的期望值
对于总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本方差 $D^* = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$ 的期望值为 \[ E(D^*) = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2 \] 因为 \[ E(D^*) = \frac{1}{n} \cdot (n-1)\sigma^2 = \frac{n-1}{n}\sigma^2 \]
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。对于样本方差 $D_n$，如果 $E(D_n) = \sigma^2$，则 $D_n$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量。
步骤 2：计算 $D_n$ 的期望值
对于总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本方差 $D_n = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$ 的期望值为 \[ E(D_n) = \sigma^2 \] 因为 \[ E\left[\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\right] = (n-1)\sigma^2 \] 故 \[ E(D_n) = \frac{1}{n-1} \cdot (n-1)\sigma^2 = \sigma^2 \]
步骤 3：有偏估计量的定义
有偏估计量是指估计量的期望值不等于被估计参数的真实值。对于样本方差 $D^*$，如果 $E(D^*) \neq \sigma^2$，则 $D^*$ 是 $\sigma^2$ 的有偏估计量。
步骤 4：计算 $D^*$ 的期望值
对于总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本方差 $D^* = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$ 的期望值为 \[ E(D^*) = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2 \] 因为 \[ E(D^*) = \frac{1}{n} \cdot (n-1)\sigma^2 = \frac{n-1}{n}\sigma^2 \]