题目

6【判断题】(2分)设总体X的概率密度函数为f( x, lambda ) = } (1)/(2lambda)e^-(x)/(2lambda) & x geqslant 0, 0 & x < 0. 其中λ是未知参数. 设(X_(1), X_(2), ... X_(n))为来自总体X的简单随机样本，样本均值为overline(X)，则λ的极大似然估计为overline(X)A.对B.错

6【判断题】(2分) 设总体X的概率密度函数为 $f( x, \lambda ) = \begin{cases} \frac{1}{2\lambda}e^{-\frac{x}{2\lambda}} & x \geqslant 0, \\ 0 & x < 0. \end{cases}$ 其中λ是未知参数. 设$(X_{1}, X_{2}, \cdots X_{n})$为来自总体X的简单随机样本，样本均值为$\overline{X}$，则λ的极大似然估计为$\overline{X}$ A.对 B.错

题目解答

答案

似然函数为： \[ L(\lambda) = \left( \frac{1}{2\lambda} \right)^n e^{-\frac{n \overline{X}}{2\lambda}}. \] 取对数得： \[ \ell(\lambda) = -n \ln(2\lambda) - \frac{n \overline{X}}{2\lambda}. \] 求导并令其为零： \[ \frac{d \ell(\lambda)}{d \lambda} = -\frac{n}{\lambda} + \frac{n \overline{X}}{2\lambda^2} = 0. \] 解得： \[ \lambda = \frac{\overline{X}}{2}. \] 因此，$\lambda$ 的极大似然估计为 $\frac{\overline{X}}{2}$，非 $\overline{X}$。答案：$\boxed{B}$。

解析

本题考查极大似然估计的计算，主要步骤为构造似然函数、取对数、求导并令导数导数为零求解参数估计量估计值。

步骤1：构造似然函数

总体X的概率密度函数为指数分布（参数为$1/(2\lambda/2)$），样本$(X_1,X_2,\cdots,X_n)$的似然函数为各样本密度函数的乘积：
$L(\lambda) = \prod_{i=1}^n f(X_i,\lambda) = \left( \frac{1}{2\lambda} \right)^n e^{-\frac{1}{2\lambda}\sum_{i=1}^n X_i} \quad (X_i\geq0)$
因$\sum_{i=1}^n X_i = n\overline{X-be-X}$，故似然函数可简化为：
$L(\lambda) = \left( \frac{1}{2\lambda} \cdot} \right)^n e^{-\frac{n\overline{X}}{2\lambda}}$

步骤2：取对数转化为对数似然函数

对似然函数取自然对数，简化求导计算：
$\ell(\lambda) = \ln L(\lambda) = -n\ln(2\lambda) - \frac{n\overline{X}}{2\\igg(\lambda\Bigg)}$

步骤3：求导并解似然方程

对$\ell(\lambda)$求导，令导数为零：
$\frac{d\ell(\lambda)}{d\lambda} = -\frac{n}{\lambda} + \frac{n\overline{X}}{2\cdot 2\lambda^2} = 0$
解方程：
$-\frac{n}{\lambda} + \frac{n\overline{X}}{2\lambda^2} = 0 \implies -2\lambda + \overline{X} = 0 \implies \lambda = \frac{\overline{X}}{2}$

结论

$\lambda$的极大似然估计为$\(\frac{\overline{X}}{2}$)，而非$\overline{X}$，故题目说法错误。