题目
将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于（）A. -1B. 0C. 1/2D. 1
将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于（）
A. -1
B. 0
C. 1/2
D. 1
题目解答
答案
A. -1
解析
步骤 1：定义随机变量
设随机变量X表示n次投掷中正面向上的次数，随机变量Y表示n次投掷中反面向上的次数。显然，X和Y满足X + Y = n。
步骤 2：计算期望值
由于每次投掷硬币正面向上的概率为1/2，反面向上的概率也为1/2，因此X和Y的期望值分别为E(X) = n/2，E(Y) = n/2。
步骤 3：计算方差
由于每次投掷硬币正面向上的概率为1/2，反面向上的概率也为1/2，因此X和Y的方差分别为Var(X) = n/4，Var(Y) = n/4。
步骤 4：计算协方差
由于X和Y满足X + Y = n，因此X和Y的协方差为Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = E(X(n-X)) - E(X)E(Y) = E(nX - X^2) - E(X)E(Y) = nE(X) - E(X^2) - E(X)E(Y) = n(n/2) - (n/2 + n/4) - (n/2)^2 = -n/4。
步骤 5：计算相关系数
根据相关系数的定义，X和Y的相关系数为ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (sqrt(Var(X)) * sqrt(Var(Y))) = -n/4 / (sqrt(n/4) * sqrt(n/4)) = -1。
设随机变量X表示n次投掷中正面向上的次数，随机变量Y表示n次投掷中反面向上的次数。显然，X和Y满足X + Y = n。
步骤 2：计算期望值
由于每次投掷硬币正面向上的概率为1/2，反面向上的概率也为1/2，因此X和Y的期望值分别为E(X) = n/2，E(Y) = n/2。
步骤 3：计算方差
由于每次投掷硬币正面向上的概率为1/2，反面向上的概率也为1/2，因此X和Y的方差分别为Var(X) = n/4，Var(Y) = n/4。
步骤 4：计算协方差
由于X和Y满足X + Y = n，因此X和Y的协方差为Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = E(X(n-X)) - E(X)E(Y) = E(nX - X^2) - E(X)E(Y) = nE(X) - E(X^2) - E(X)E(Y) = n(n/2) - (n/2 + n/4) - (n/2)^2 = -n/4。
步骤 5：计算相关系数
根据相关系数的定义，X和Y的相关系数为ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (sqrt(Var(X)) * sqrt(Var(Y))) = -n/4 / (sqrt(n/4) * sqrt(n/4)) = -1。