题目
(8)设X1,X2,···,X9是来自正态总体N(μ,σ^2)的样本, _(1)=dfrac (1)(6)sum _(i=1)^6(X)_(i) , _(2)=-|||-dfrac (1)(3)sum _(i=7)^9X , ^2=dfrac (1)(2)sum _(i=7)^9(({X)_(i)-(Y)_(2))}^2 则统计量 =dfrac (sqrt {2)((Y)_(1)-(Y)_(2))}(S) 服从自由度为 __ 的-|||-__ 分布.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 ${Y}_{1}$ 和 ${Y}_{2}$ 的分布
由于 ${X}_{i}$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，根据正态分布的性质，样本均值 ${Y}_{1}$ 和 ${Y}_{2}$ 也服从正态分布。具体来说，${Y}_{1} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{6})$ 和 ${Y}_{2} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{3})$。
步骤 2：确定 ${Y}_{1}-{Y}_{2}$ 的分布
由于 ${Y}_{1}$ 和 ${Y}_{2}$ 都是正态分布，它们的差 ${Y}_{1}-{Y}_{2}$ 也服从正态分布。差的均值为 $\mu - \mu = 0$，方差为 $\frac{\sigma^2}{6} + \frac{\sigma^2}{3} = \frac{\sigma^2}{2}$。因此，${Y}_{1}-{Y}_{2} \sim N(0, \frac{\sigma^2}{2})$。
步骤 3：确定 $S^2$ 的分布
$S^2$ 是基于 ${X}_{7}$, ${X}_{8}$, ${X}_{9}$ 的样本方差，因此 $S^2$ 服从 $\chi^2$ 分布，自由度为 $3-1=2$。即 $S^2 \sim \frac{\sigma^2}{2} \chi^2_2$。
步骤 4：确定 $Z$ 的分布
$Z = \frac{\sqrt{2}({Y}_{1}-{Y}_{2})}{S}$，其中 ${Y}_{1}-{Y}_{2}$ 服从 $N(0, \frac{\sigma^2}{2})$，$S^2$ 服从 $\frac{\sigma^2}{2} \chi^2_2$。因此，$Z$ 服从自由度为 $2$ 的 $t$ 分布。
由于 ${X}_{i}$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，根据正态分布的性质，样本均值 ${Y}_{1}$ 和 ${Y}_{2}$ 也服从正态分布。具体来说，${Y}_{1} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{6})$ 和 ${Y}_{2} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{3})$。
步骤 2：确定 ${Y}_{1}-{Y}_{2}$ 的分布
由于 ${Y}_{1}$ 和 ${Y}_{2}$ 都是正态分布，它们的差 ${Y}_{1}-{Y}_{2}$ 也服从正态分布。差的均值为 $\mu - \mu = 0$，方差为 $\frac{\sigma^2}{6} + \frac{\sigma^2}{3} = \frac{\sigma^2}{2}$。因此，${Y}_{1}-{Y}_{2} \sim N(0, \frac{\sigma^2}{2})$。
步骤 3：确定 $S^2$ 的分布
$S^2$ 是基于 ${X}_{7}$, ${X}_{8}$, ${X}_{9}$ 的样本方差，因此 $S^2$ 服从 $\chi^2$ 分布，自由度为 $3-1=2$。即 $S^2 \sim \frac{\sigma^2}{2} \chi^2_2$。
步骤 4：确定 $Z$ 的分布
$Z = \frac{\sqrt{2}({Y}_{1}-{Y}_{2})}{S}$，其中 ${Y}_{1}-{Y}_{2}$ 服从 $N(0, \frac{\sigma^2}{2})$，$S^2$ 服从 $\frac{\sigma^2}{2} \chi^2_2$。因此，$Z$ 服从自由度为 $2$ 的 $t$ 分布。