题目
(9). 设总体 X 在 [0,theta ] 上均匀分布，从中抽取容量为1的样本 X_1，则下述 hat (theta ) 是 theta 的无偏差估计量的是（ ）。A. hat (theta )=X_1 B. hat (theta )=2X_1 C. hat (theta )=(1)/(2)X_1 D. hat (theta )=X_1 +(theta )/(2)
(9). 设总体 $ X $ 在 $ [0,\theta ] $ 上均匀分布，从中抽取容量为1的样本 $ X_1$，则下述 $ \hat {\theta } $ 是 $ \theta $ 的无偏差估计量的是（ ）。
A. $ \hat {\theta }=X_1 $
B. $ \hat {\theta }=2X_1 $
C. $ \hat {\theta }=\frac{1}{2}X_1 $
D. $ \hat {\theta }=X_1 +\frac{\theta }{2} $
题目解答
答案
B. $ \hat {\theta }=2X_1 $
解析
步骤 1：理解无偏差估计量的定义
无偏差估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即 $E(\hat{\theta}) = \theta$。
步骤 2：计算每个选项的期望值
- 对于选项 A，$E(\hat{\theta}) = E(X_1) = \frac{\theta}{2}$，因为 $X_1$ 是在 $[0, \theta]$ 上均匀分布的随机变量，其期望值为区间中点。
- 对于选项 B，$E(\hat{\theta}) = E(2X_1) = 2E(X_1) = 2 \times \frac{\theta}{2} = \theta$。
- 对于选项 C，$E(\hat{\theta}) = E(\frac{1}{2}X_1) = \frac{1}{2}E(X_1) = \frac{1}{2} \times \frac{\theta}{2} = \frac{\theta}{4}$。
- 对于选项 D，$E(\hat{\theta}) = E(X_1 + \frac{\theta}{2}) = E(X_1) + \frac{\theta}{2} = \frac{\theta}{2} + \frac{\theta}{2} = \theta$。
步骤 3：判断哪个选项满足无偏差估计量的条件
根据步骤 2 的计算结果，只有选项 B 和 D 的期望值等于 $\theta$，即 $E(\hat{\theta}) = \theta$。但是，选项 D 中的 $\hat{\theta}$ 包含了未知参数 $\theta$，因此它不是一个有效的估计量。所以，只有选项 B 满足无偏差估计量的条件。
无偏差估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即 $E(\hat{\theta}) = \theta$。
步骤 2：计算每个选项的期望值
- 对于选项 A，$E(\hat{\theta}) = E(X_1) = \frac{\theta}{2}$，因为 $X_1$ 是在 $[0, \theta]$ 上均匀分布的随机变量，其期望值为区间中点。
- 对于选项 B，$E(\hat{\theta}) = E(2X_1) = 2E(X_1) = 2 \times \frac{\theta}{2} = \theta$。
- 对于选项 C，$E(\hat{\theta}) = E(\frac{1}{2}X_1) = \frac{1}{2}E(X_1) = \frac{1}{2} \times \frac{\theta}{2} = \frac{\theta}{4}$。
- 对于选项 D，$E(\hat{\theta}) = E(X_1 + \frac{\theta}{2}) = E(X_1) + \frac{\theta}{2} = \frac{\theta}{2} + \frac{\theta}{2} = \theta$。
步骤 3：判断哪个选项满足无偏差估计量的条件
根据步骤 2 的计算结果，只有选项 B 和 D 的期望值等于 $\theta$，即 $E(\hat{\theta}) = \theta$。但是，选项 D 中的 $\hat{\theta}$ 包含了未知参数 $\theta$，因此它不是一个有效的估计量。所以，只有选项 B 满足无偏差估计量的条件。