题目
设容量n=9,均值,,则未知参数的置信度为0.95的置信区间( )A.(4.769,5.231)B.(4.774,5.226)C.(4.836,5.164)D.(4.804,5.196)
设
容量n=9,均值
,,则未知参数
的置信度为0.95的置信区间( )
A.(4.769,5.231)
B.(4.774,5.226)
C.(4.836,5.164)
D.(4.804,5.196)
题目解答
答案
由题得:
n=9,
,
,1-a=0.95,
∴a=0.05,
查表得:
∴


所以本题的答案为D。
解析
步骤 1:确定已知条件
已知$X\sim N(\mu ,{0.3}^{2})$,即$X$服从均值为$\mu$,方差为$0.09$的正态分布。样本容量$n=9$,样本均值$\overline {X}=5$,置信度为$0.95$,查表得${z}_{0.025}=1.96$。
步骤 2:计算置信区间的上下限
置信区间的计算公式为$\overline {X}\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$,其中$\overline {X}$为样本均值,$z_{\frac{\alpha}{2}}$为标准正态分布的临界值,$\sigma$为总体标准差,$n$为样本容量。
将已知数值代入公式,得:
下限:$\overline {X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=5-1.96\times\frac{0.3}{\sqrt{9}}=5-1.96\times0.1=4.804$
上限:$\overline {X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=5+1.96\times\frac{0.3}{\sqrt{9}}=5+1.96\times0.1=5.196$
步骤 3:选择正确答案
根据计算结果,置信区间为$(4.804,5.196)$,因此选择D选项。
已知$X\sim N(\mu ,{0.3}^{2})$,即$X$服从均值为$\mu$,方差为$0.09$的正态分布。样本容量$n=9$,样本均值$\overline {X}=5$,置信度为$0.95$,查表得${z}_{0.025}=1.96$。
步骤 2:计算置信区间的上下限
置信区间的计算公式为$\overline {X}\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$,其中$\overline {X}$为样本均值,$z_{\frac{\alpha}{2}}$为标准正态分布的临界值,$\sigma$为总体标准差,$n$为样本容量。
将已知数值代入公式,得:
下限:$\overline {X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=5-1.96\times\frac{0.3}{\sqrt{9}}=5-1.96\times0.1=4.804$
上限:$\overline {X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=5+1.96\times\frac{0.3}{\sqrt{9}}=5+1.96\times0.1=5.196$
步骤 3:选择正确答案
根据计算结果,置信区间为$(4.804,5.196)$,因此选择D选项。