题目
填空题：（6）~（10）小题，每小题4分，共20分.（2011104）设二维随机变量（X，Y）服从N（μ，σ²，σ²，0），则E（XY²）=____
填空题：（6）~（10）小题，每小题4分，共20分.
（2011104）设二维随机变量（X，Y）服从N（μ，σ²，σ²，0），则E（XY²）=____
题目解答
答案
为了求解 $ E(XY^2) $，我们首先需要利用二维正态分布的性质。二维正态分布 $ N(\mu, \sigma^2, \sigma^2, 0) $ 表示 $ X $ 和 $ Y $ 的联合分布，其中 $ X $ 和 $ Y $ 的均值分别为 $ \mu $ 和 $ 0 $，方差分别为 $ \sigma^2 $ 和 $ \sigma^2 $，相关系数为 $ 0 $。由于相关系数为 $ 0 $， $ X $ 和 $ Y $ 是独立的。
由于 $ X $ 和 $ Y $ 是独立的，我们可以将期望 $ E(XY^2) $ 分解为 $ E(X) $ 和 $ E(Y^2) $ 的乘积：
\[
E(XY^2) = E(X)E(Y^2)
\]
首先，我们知道 $ E(X) = \mu $。接下来，我们需要求 $ E(Y^2) $。由于 $ Y $ 服从正态分布 $ N(0, \sigma^2) $，我们有：
\[
E(Y^2) = \text{Var}(Y) + [E(Y)]^2 = \sigma^2 + 0^2 = \sigma^2
\]
现在，将 $ E(X) $ 和 $ E(Y^2) $ 的值代入 $ E(XY^2) $ 的表达式中，我们得到：
\[
E(XY^2) = \mu \cdot \sigma^2 = \mu \sigma^2
\]
因此， $ E(XY^2) $ 的值为：
\[
\boxed{\mu \sigma^2}
\]
解析
步骤 1：理解二维正态分布的性质
二维正态分布 $N(\mu, \sigma^2, \sigma^2, 0)$ 表示 $X$ 和 $Y$ 的联合分布，其中 $X$ 和 $Y$ 的均值分别为 $\mu$ 和 $0$，方差分别为 $\sigma^2$ 和 $\sigma^2$，相关系数为 $0$。由于相关系数为 $0$，$X$ 和 $Y$ 是独立的。
步骤 2：利用独立性分解期望
由于 $X$ 和 $Y$ 是独立的，我们可以将期望 $E(XY^2)$ 分解为 $E(X)$ 和 $E(Y^2)$ 的乘积：
\[ E(XY^2) = E(X)E(Y^2) \]
步骤 3：计算 $E(X)$ 和 $E(Y^2)$
首先，我们知道 $E(X) = \mu$。接下来，我们需要求 $E(Y^2)$。由于 $Y$ 服从正态分布 $N(0, \sigma^2)$，我们有：
\[ E(Y^2) = \text{Var}(Y) + [E(Y)]^2 = \sigma^2 + 0^2 = \sigma^2 \]
步骤 4：代入计算 $E(XY^2)$
将 $E(X)$ 和 $E(Y^2)$ 的值代入 $E(XY^2)$ 的表达式中，我们得到：
\[ E(XY^2) = \mu \cdot \sigma^2 = \mu \sigma^2 \]
二维正态分布 $N(\mu, \sigma^2, \sigma^2, 0)$ 表示 $X$ 和 $Y$ 的联合分布，其中 $X$ 和 $Y$ 的均值分别为 $\mu$ 和 $0$，方差分别为 $\sigma^2$ 和 $\sigma^2$，相关系数为 $0$。由于相关系数为 $0$，$X$ 和 $Y$ 是独立的。
步骤 2：利用独立性分解期望
由于 $X$ 和 $Y$ 是独立的，我们可以将期望 $E(XY^2)$ 分解为 $E(X)$ 和 $E(Y^2)$ 的乘积：
\[ E(XY^2) = E(X)E(Y^2) \]
步骤 3：计算 $E(X)$ 和 $E(Y^2)$
首先，我们知道 $E(X) = \mu$。接下来，我们需要求 $E(Y^2)$。由于 $Y$ 服从正态分布 $N(0, \sigma^2)$，我们有：
\[ E(Y^2) = \text{Var}(Y) + [E(Y)]^2 = \sigma^2 + 0^2 = \sigma^2 \]
步骤 4：代入计算 $E(XY^2)$
将 $E(X)$ 和 $E(Y^2)$ 的值代入 $E(XY^2)$ 的表达式中，我们得到：
\[ E(XY^2) = \mu \cdot \sigma^2 = \mu \sigma^2 \]