题目
已知sim N(0,1),设sim N(0,1)是来自总体X的样本,令sim N(0,1),则sim N(0,1)_____.
已知
,设
是来自总体X的样本,令
,则
_____.
题目解答
答案
首先，由于，即X是服从均值为0，方差为1的正态分布，根据正态分布的性质，我们有：
其中，E(X)是X的期望，D(X)是X的方差。
接下来，我们需要求
。
根据方差的定义，我们有：
将已知的
和
代入上式，得到：
最后，考虑。
由于是来自总体X的样本，且它们是相互独立的，根据期望的线性性质（注意这里也适用于平方，因为平方是线性变换的复合，但在这里更直接的是利用独立同分布随机变量和的方差性质，并注意到期望的平方与平方的期望在正态分布下是相等的），我们有：
由于每个
都服从
，所以
，代入上式得：
.
解析
步骤 1：理解正态分布的性质
由于$X\sim N(0,1)$，即X是服从均值为0，方差为1的正态分布，根据正态分布的性质，我们有：
$E(X)=0$，$D(X)=1$。
步骤 2：求$E({X}^{2})$
根据方差的定义，我们有：
$D(X)=E({X}^{2})-{[ E(X)] }^{2}$
将已知的$E(X)=0$和$D(X)=1$代入上式，得到：
$1=E({X}^{2})-{0}^{2}$，即$E({X}^{2})=1$。
步骤 3：求$E({x}^{2})$
考虑${x}^{2}=\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}$。
由于X1,X2,···,Nn是来自总体X的样本，且它们是相互独立的，根据期望的线性性质，我们有：
$E({x}^{2})=E(\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2})=\sum _{i=1}^{n}E({{X}_{i}}^{2})$
由于每个$X_i$都服从N(0,1)，所以$E({{X}_{i}}^{2})=1$，代入上式得：
$E({x}^{2})=n\times 1=n$。
由于$X\sim N(0,1)$，即X是服从均值为0，方差为1的正态分布，根据正态分布的性质，我们有：
$E(X)=0$，$D(X)=1$。
步骤 2：求$E({X}^{2})$
根据方差的定义，我们有：
$D(X)=E({X}^{2})-{[ E(X)] }^{2}$
将已知的$E(X)=0$和$D(X)=1$代入上式，得到：
$1=E({X}^{2})-{0}^{2}$，即$E({X}^{2})=1$。
步骤 3：求$E({x}^{2})$
考虑${x}^{2}=\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}$。
由于X1,X2,···,Nn是来自总体X的样本，且它们是相互独立的，根据期望的线性性质，我们有：
$E({x}^{2})=E(\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2})=\sum _{i=1}^{n}E({{X}_{i}}^{2})$
由于每个$X_i$都服从N(0,1)，所以$E({{X}_{i}}^{2})=1$，代入上式得：
$E({x}^{2})=n\times 1=n$。