题目
设随机变量X,Y相互独立,且X~b(10,0.3),Y~b(10,0.4),则E[(2X-Y)2]A. 12.6B. 14.8C. 15.2D. 18.9
设随机变量X,Y相互独立,且X~b(10,0.3),Y~b(10,0.4),则E[(2X-Y)2]
A. 12.6
B. 14.8
C. 15.2
D. 18.9
题目解答
答案
B. 14.8
解析
步骤 1：计算E(X)和E(Y)
由于X~b(10,0.3)，Y~b(10,0.4)，根据二项分布的期望公式E(X)=np，我们有E(X)=10*0.3=3，E(Y)=10*0.4=4。
步骤 2：计算Var(X)和Var(Y)
根据二项分布的方差公式Var(X)=np(1-p)，我们有Var(X)=10*0.3*0.7=2.1，Var(Y)=10*0.4*0.6=2.4。
步骤 3：计算E[(2X-Y)^2]
根据方差的性质，Var(aX+bY)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)+2abCov(X,Y)，由于X和Y相互独立，Cov(X,Y)=0，所以Var(2X-Y)=4Var(X)+Var(Y)=4*2.1+2.4=10.8。又因为E[(2X-Y)^2]=Var(2X-Y)+[E(2X-Y)]^2，而E(2X-Y)=2E(X)-E(Y)=2*3-4=2，所以E[(2X-Y)^2]=10.8+2^2=14.8。
由于X~b(10,0.3)，Y~b(10,0.4)，根据二项分布的期望公式E(X)=np，我们有E(X)=10*0.3=3，E(Y)=10*0.4=4。
步骤 2：计算Var(X)和Var(Y)
根据二项分布的方差公式Var(X)=np(1-p)，我们有Var(X)=10*0.3*0.7=2.1，Var(Y)=10*0.4*0.6=2.4。
步骤 3：计算E[(2X-Y)^2]
根据方差的性质，Var(aX+bY)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)+2abCov(X,Y)，由于X和Y相互独立，Cov(X,Y)=0，所以Var(2X-Y)=4Var(X)+Var(Y)=4*2.1+2.4=10.8。又因为E[(2X-Y)^2]=Var(2X-Y)+[E(2X-Y)]^2，而E(2X-Y)=2E(X)-E(Y)=2*3-4=2，所以E[(2X-Y)^2]=10.8+2^2=14.8。