题目
1.某织物的强力指标X的均值 (mu )_(0)=21kg, 改进工艺后生产一批织物,现从中抽取-|||-30件,测得 overline (x)=21.55kg. 假设强力指标服从正态分布N(μ,σ ^2),且已知 sigma =1.2kg, 问:-|||-在显著性水平 alpha =0.01 下,新生产的织物与过去的织物相比强力是否有提高?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定假设检验类型
由于已知总体标准差 $\sigma$，且样本量 $n=30$，可以使用单样本Z检验来检验均值是否有所提高。原假设 $H_0$ 为新织物的强力指标均值 $\mu$ 不大于原均值 ${\mu }_{0}=21kg$，备择假设 $H_1$ 为新织物的强力指标均值 $\mu$ 大于原均值 ${\mu }_{0}=21kg$。即：
$$
H_0: \mu \leq 21kg \\
H_1: \mu > 21kg
$$
步骤 2：计算检验统计量
检验统计量 $Z$ 的计算公式为：
$$
Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}
$$
其中，$\overline{x} = 21.55kg$，$\mu_0 = 21kg$，$\sigma = 1.2kg$，$n = 30$。代入公式计算得：
$$
Z = \frac{21.55 - 21}{1.2 / \sqrt{30}} = \frac{0.55}{1.2 / \sqrt{30}} = \frac{0.55}{1.2 / 5.477} = \frac{0.55}{0.219} = 2.51
$$
步骤 3：确定临界值和做出决策
在显著性水平 $\alpha = 0.01$ 下，单尾检验的临界值 $Z_{\alpha}$ 为2.33（查标准正态分布表）。由于计算得到的检验统计量 $Z = 2.51$ 大于临界值 $Z_{\alpha} = 2.33$，因此拒绝原假设 $H_0$，接受备择假设 $H_1$，即新生产的织物与过去的织物相比强力有提高。
由于已知总体标准差 $\sigma$，且样本量 $n=30$，可以使用单样本Z检验来检验均值是否有所提高。原假设 $H_0$ 为新织物的强力指标均值 $\mu$ 不大于原均值 ${\mu }_{0}=21kg$，备择假设 $H_1$ 为新织物的强力指标均值 $\mu$ 大于原均值 ${\mu }_{0}=21kg$。即：
$$
H_0: \mu \leq 21kg \\
H_1: \mu > 21kg
$$
步骤 2：计算检验统计量
检验统计量 $Z$ 的计算公式为：
$$
Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}
$$
其中，$\overline{x} = 21.55kg$，$\mu_0 = 21kg$，$\sigma = 1.2kg$，$n = 30$。代入公式计算得：
$$
Z = \frac{21.55 - 21}{1.2 / \sqrt{30}} = \frac{0.55}{1.2 / \sqrt{30}} = \frac{0.55}{1.2 / 5.477} = \frac{0.55}{0.219} = 2.51
$$
步骤 3：确定临界值和做出决策
在显著性水平 $\alpha = 0.01$ 下，单尾检验的临界值 $Z_{\alpha}$ 为2.33（查标准正态分布表）。由于计算得到的检验统计量 $Z = 2.51$ 大于临界值 $Z_{\alpha} = 2.33$，因此拒绝原假设 $H_0$，接受备择假设 $H_1$，即新生产的织物与过去的织物相比强力有提高。