1、lim_(xto0)(tan x-x)/(sin x^3);

将 $\tan x$ 和 $\sin x^3$ 展开为泰勒级数：
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5), \quad \sin x^3 = x^3 + O(x^9)$
代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{\sin x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\left(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)\right) - x}{x^3 + O(x^9)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3} + O(x^5)}{x^3 + O(x^9)}$
忽略高阶无穷小，得：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3}}{x^3} = \frac{1}{3}$
答案： $\boxed{\frac{1}{3}}$