1.(30.0分)-|||-对随机变量X.已知 (X)=mu 则对任意常数C.有 ()-|||-A . ((X-C))^2=E((X)^2)-(C)^2 =-|||-B .((X-C))^2geqslant E((X-n))^2 --|||-C . ((X-C))^2leqslant E((X-mu ))^2 =-|||-D .((X-C))^2=E((X-mu ))^2 =

本题考查随机变量的数学期望以及方差的性质，解题的关键在于对$E{(X - C)}^{2}$进行展开化简，然后通过分析其与$E{(X - \mu)}^{2}$的关系来得出结论。

步骤一：对$E{(X - C)}^{2}$进行展开

根据完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，可得$(X - C)^2 = X^2 - 2CX + C^2$。
再根据数学期望的线性性质$E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c$（其中$a,b,c$为常数，$X,Y$为随机变量），对$E{(X - C)}^{2}$进行计算：
$E{(X - C)}^{2}=E(X^2 - 2CX + C^2)=E(X^2) - 2CE(X) + C^2$
已知$E(X)=\mu$，将其代入上式可得：
$E{(X - C)}^{2}=E(X^2) - 2C\mu + C^2$

步骤二：将$E{(X - C)}^{2}$转化为关于$(C - \mu)^2$的形式

对$E(X^2) - 2C\mu + C^2$进行变形可得：
$E{(X - C)}^{2}=E(X^2) - 2C\mu + \mu^2 + C^2 - \mu^2=E(X^2) - \mu^2 + (C - \mu)^2$
因为$E(X^2) - \mu^2 = D(X)$（方差的定义），所以$E{(X - C)}^{2}=D(X) + (C - \mu)^2$。

步骤三：分析$E{(X - C)}^{2}$与$E{(X - \mu)}^{2}$的关系

当$C = \mu$时，$(C - \mu)^2 = 0$，此时$E{(X - C)}^{2}$取得最小值$D(X)$，即$E{(X - \mu)}^{2}=D(X)$。
对于任意常数$C$，$(C - \mu)^2\geqslant0$，所以$E{(X - C)}^{2}=D(X) + (C - \mu)^2\geqslant D(X)=E{(X - \mu)}^{2}$。