题目
设总体 X 服从正态分布 N(mu, sigma^2)，其中 sigma^2 未知，若已知样本容量 n 和置信水平 1-alpha 均不变，则对于不同的样本观测值 mu 的置信区间的长度。A. 变长B. 变短C. 不变D. 不能确定
设总体 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\sigma^2$ 未知，若已知样本容量 $n$ 和置信水平 $1-\alpha$ 均不变，则对于不同的样本观测值 $\mu$ 的置信区间的长度。
A. 变长
B. 变短
C. 不变
D. 不能确定
题目解答
答案
D. 不能确定
解析
步骤 1：确定置信区间的公式
当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，$\mu$ 的置信区间为： \[ \left( \bar{X} - t_{\alpha/2, n-1} \frac{S}{\sqrt{n}}, \bar{X} + t_{\alpha/2, n-1} \frac{S}{\sqrt{n}} \right) \] 其中，$\bar{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$t_{\alpha/2, n-1}$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的临界值。
步骤 2：计算置信区间的长度
置信区间的长度为： \[ 2 t_{\alpha/2, n-1} \frac{S}{\sqrt{n}} \] 其中，$t_{\alpha/2, n-1}$ 和 $n$ 是固定的，而 $S$ 是样本标准差，会随着样本观测值的变化而变化。
步骤 3：分析区间长度的变化
由于 $t_{\alpha/2, n-1}$ 和 $n$ 固定，区间长度与 $S$ 成正比。而 $S$ 随样本观测值变化，导致区间长度无法确定。
当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，$\mu$ 的置信区间为： \[ \left( \bar{X} - t_{\alpha/2, n-1} \frac{S}{\sqrt{n}}, \bar{X} + t_{\alpha/2, n-1} \frac{S}{\sqrt{n}} \right) \] 其中，$\bar{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$t_{\alpha/2, n-1}$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的临界值。
步骤 2：计算置信区间的长度
置信区间的长度为： \[ 2 t_{\alpha/2, n-1} \frac{S}{\sqrt{n}} \] 其中，$t_{\alpha/2, n-1}$ 和 $n$ 是固定的，而 $S$ 是样本标准差，会随着样本观测值的变化而变化。
步骤 3：分析区间长度的变化
由于 $t_{\alpha/2, n-1}$ 和 $n$ 固定，区间长度与 $S$ 成正比。而 $S$ 随样本观测值变化，导致区间长度无法确定。