一、单选题（100分） 3.【单选题】（5分） SLTJ1求参数a的值（） 设X_(1),X_(2),X_(3),X_(4),X_(5)是取自正态总体N(0,sigma^2)的一个简单随机样本，若 (a(X_(1)+X_(2)))/(sqrt(X_(3)^2)+X_{4^2+X_{5)^2}}服从t分布，则a=____.A. sqrt(3)B. sqrt(2)C. sqrt(6)/2D. 3/2

考查要点：本题主要考查t分布的构造条件，涉及正态变量的线性组合、卡方分布的性质以及标准化处理。

解题核心思路：

1. 分子部分：将$X_1 + X_2$标准化为标准正态变量；
2. 分母部分：将$X_3^2 + X_4^2 + X_5^2$转化为卡方分布；
3. 匹配t分布结构：根据t分布的定义，分子为标准正态变量，分母为卡方分布的平方根除以自由度，通过系数匹配求解$a$。

破题关键点：

• 正态变量的线性组合：$X_1 + X_2$服从$N(0, 2\sigma^2)$；
• 卡方分布的自由度：$X_3^2 + X_4^2 + X_5^2$服从$\chi^2(3)$；
• 标准化处理：分子需转化为标准正态变量，分母需体现卡方分布的自由度。

步骤1：分析分子部分

令$Y = X_1 + X_2$，由于$X_1, X_2 \sim N(0, \sigma^2)$，则：
$Y \sim N\left(0, 2\sigma^2\right)$
标准化后：
$\frac{Y}{\sigma\sqrt{2}} = \frac{X_1 + X_2}{\sigma\sqrt{2}} \sim N(0, 1)$

步骤2：分析分母部分

令$Z = X_3^2 + X_4^2 + X_5^2$，由于每个$X_i \sim N(0, \sigma^2)$，则：
$\frac{Z}{\sigma^2} = \frac{X_3^2}{\sigma^2} + \frac{X_4^2}{\sigma^2} + \frac{X_5^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(3)$

步骤3：构造t分布

原式可改写为：
$\frac{a(X_1 + X_2)}{\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}} = \frac{a \cdot Y}{\sqrt{Z}} = \frac{a \cdot \sigma\sqrt{2} \cdot \frac{Y}{\sigma\sqrt{2}}}{\sigma\sqrt{\frac{Z}{\sigma^2}}}$
根据t分布的定义，需满足：
$\frac{\text{标准正态变量}}{\sqrt{\frac{\chi^2(3)}{3}}}$
因此，分子系数需满足：
$a \cdot \sigma\sqrt{2} = \sqrt{3} \cdot \sigma \quad \Rightarrow \quad a = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$