机器自动包装食盐,设每袋盐的净重服从正态分布,要求每袋盐的标准重量为500克。某天开工后,为了检验机器是否正常工作,从已经包装好的食盐中随机取9袋,测得样本均值样本方差. 问这天自动包装机工作是否正常()?(参考数据:)

本题本题考查正态总体均值的均值的假设检验，解题思路是先提出原假设和备择假设，然后根据已知条件确定合适的检验统计量及其分布-布，接着根据给定的样本数据计算检验统计量的值，最后将计算值与临界值比较，从而判断是否接受原假设。

1. 提出假设：
   • 原假设 $H_0:\mu = 500$，表示机器工作正常，即每袋盐的平均重量为标准重量$500$克。
   • 备择假设 $H_1:\mu \neq 500$，表示机器工作不正常，即袋盐的平均重量不为$500$克。
     2 确定检验统计量：
   • 由于总体方差未知，样本容量$n = 9$，根据正态总体均值的假设检验知识，当$H_0$成立时，检验统计量$T=\frac{\overline{X}-500}{S/\sqrt{n}}\sim t(n - 1)$，这里$n-1=9 - 1 = 8$，即$T=\frac{\overline{X}-500}{S/3}\sim t(8)$。
     3 计算检验统计量的值：
   • 已知样本均值$\overline{x}=499$，样本标准差$s = 1.603$，将其代入检验统计量公式可得：
   • $t=\frac{|\overline{x}-500|}{s/\sqrt{n}}=\frac{|499 - 500|}{1.603/3}=\frac{1\times3}{1.603}=\frac{3}{1.603}\approx0.187$。
     4 确定临界值并比较：
   • 给定参考数据（这里虽未明确给出显著性水平，但从计算结果与临界值比较可推测），临界值为$2.0306$。
   • 因为$t = 0.187\lt2.0306$，所以接受原假设$H_0$。