题目
某车间生产的螺钉,其直径(单位:mm)X服从正态分布N(μ,σ^2).由过去长期的经验知:N(μ,σ^2).从中随机抽取16枚,测直径得样本均值为N(μ,σ^2).求总体均值N(μ,σ^2)的置信水平为0.95的置信区间.N(μ,σ^2)
某车间生产的螺钉,其直径(单位:mm)X服从正态分布
.由过去长期的经验知:
.从中随机抽取16枚,测直径得样本均值为
.求总体均值
的置信水平为0.95的置信区间.
题目解答
答案
我们需要求总体均值的置信水平为0.95的置信区间。由于总体方差
已知，我们可以直接使用u分数来计算置信区间。
首先，我们计算标准误差SE。由于
，样本大小n=16，所以
然后，我们查u分布表，找到
的u值，记为
。由题目给出，
。
最后，我们计算置信区间。置信区间的计算公式为
代入已知数值，得到
解析
步骤 1：计算标准误差
由于总体方差已知，我们首先计算标准误差SE。标准误差SE的计算公式为：
$SE = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
其中，$\sigma = 0.25$，样本大小$n = 16$。代入数值，得到：
$SE = \dfrac{0.25}{\sqrt{16}} = 0.0625$
步骤 2：确定置信水平对应的u值
由于置信水平为0.95，我们需要查u分布表，找到$\dfrac{\alpha}{2} = 0.025$的u值，记为$u_{\dfrac{\alpha}{2}}$。由题目给出，$u_{0.025} = 1.96$。
步骤 3：计算置信区间
置信区间的计算公式为：
$(\overline{x} - u_{\dfrac{\alpha}{2}} \times SE, \overline{x} + u_{\dfrac{\alpha}{2}} \times SE)$
代入已知数值，得到：
$(14.95 - 1.96 \times 0.0625, 14.95 + 1.96 \times 0.0625) = (14.877, 15.023)$
由于总体方差已知，我们首先计算标准误差SE。标准误差SE的计算公式为：
$SE = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
其中，$\sigma = 0.25$，样本大小$n = 16$。代入数值，得到：
$SE = \dfrac{0.25}{\sqrt{16}} = 0.0625$
步骤 2：确定置信水平对应的u值
由于置信水平为0.95，我们需要查u分布表，找到$\dfrac{\alpha}{2} = 0.025$的u值，记为$u_{\dfrac{\alpha}{2}}$。由题目给出，$u_{0.025} = 1.96$。
步骤 3：计算置信区间
置信区间的计算公式为：
$(\overline{x} - u_{\dfrac{\alpha}{2}} \times SE, \overline{x} + u_{\dfrac{\alpha}{2}} \times SE)$
代入已知数值，得到：
$(14.95 - 1.96 \times 0.0625, 14.95 + 1.96 \times 0.0625) = (14.877, 15.023)$