七、(本小题9分):设随机变量具有概率密度函数其中为未知参数,为来自总体的样本。求的矩估计量和极大似然估计量。

考查要点：本题主要考查矩估计法和极大似然估计法的应用，需要掌握概率密度函数的期望计算及似然函数的构造与求解。

解题核心思路：

1. 矩估计：通过一阶原点矩（期望）与样本均值建立方程，解出参数θ的表达式。
2. 极大似然估计：构造似然函数，取对数后求导，解方程得到θ的估计值。

破题关键点：

• 矩估计的关键是正确计算期望值，并将θ表示为期望的函数。
• 极大似然估计需注意似然函数的正确形式，以及对数似然函数的求导过程。

矩估计量

1. 计算期望：
   $E(X) = \int_{1}^{+\infty} x \cdot \frac{\theta}{x^{\theta+1}} \, dx = \theta \int_{1}^{+\infty} x^{-\theta} \, dx = \frac{\theta}{\theta - 1}$

2. 建立方程：
   设样本均值$\bar{X}$为总体期望的估计值，即$\bar{X} = \frac{\theta}{\theta - 1}$，解得：
   $\theta = \frac{\bar{X}}{\bar{X} - 1}$

3. 矩估计量：
   将样本均值$\bar{X}$代入，得矩估计量：
   $\hat{\theta}_{\text{矩}} = \frac{\bar{X}}{\bar{X} - 1}$

极大似然估计量

1. 构造似然函数：
   当所有样本$x_i \geq 1$时，似然函数为：
   $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\theta}{x_i^{\theta+1}} = \theta^n \cdot \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{-(\theta+1)}$

2. 取对数似然函数：
   $\ln L(\theta) = n \ln \theta - (\theta + 1) \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$

3. 求导并解方程：
   对θ求导并令导数为0：
   $\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{n}{\theta} - \sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0$
   解得：
   $\hat{\theta}_{\text{极大}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i}$