[题目]设X1,X2,······Xn为来自正态总体-|||-sim N(theta ,1) 的样本,求参数θ的极大似然估计量并-|||-验证它是否为参数θ的无偏估计量。

本题考查正态总体参数的极大似然估计以及无偏估计的验证。解题思路如下：

1. 首先写出参数 $\theta$ 的似然函数 $L(\theta |x)$。
2. 对似然函数取对数，然后求关于 $\theta$ 的导数，并令导数为 0，解出 $\thetatheta$ 的极大似然估计量。
3. 验证该估计量是否为参数 $\theta$ 的无偏估计量，即计算该估计量的期望是否等于 $\theta$。

下面进行详细的的计算：

1. 写出似然函数：
   似然函数 $L(\theta |x)=\prod_{i = 1}^{n}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(x_{i}-\theta)^{2}=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}}e^{-\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\theta)^{2}$。
2. 求极大似然估计量：
   对似然函数取对数，$\ln L(\theta |x)=-\frac{n}{2}\ln(2\pi)+\frac{frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\theta)^{2}$。
   求关于 $\theta$ 的导数，$\frac{d}{d\theta}\ln L(\theta |x)=\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\theta)$。
   令导数为 0，即 $\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\theta)=0$，解得 $\theta=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}=\overline{x}$。
3. 验证无偏性：
   计算期望 $E(\overline{x})=E(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i})=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(x_{i})=\frac{1}{n}n\theta=\theta$。