1.计算题某制药厂进行流感疫苗效果研究，用X表示人体注射该疫苗后的抗体强度，设X服从正态分布，已知市场上同类疫苗的平均抗体强度为1.9，该厂为证明其产品有更高的抗体强度，(1)如何提出零假设和备择假设?(2)现有容量为16的样本数据如下：1.2，1.9，2.7，2.2，3.0，1.8，3.1，2.4，2.5，1.5，1.7，2.2，2.2，2.4，2.6，2.3，2.1。试利用该组数据，在水平下检验(1)中的假设。

为了解决这个问题，我们将按照以下步骤进行： 1. 提出零假设和备择假设。 2. 计算样本均值。 3. 确定检验统计量。 4. 找出临界值并进行比较。 5. 做出结论。 ### 第1步：提出零假设和备择假设 零假设 $ H_0 $ 是该厂疫苗的平均抗体强度与市场上同类疫苗的平均抗体强度相同或更小。备择假设 $ H_1 $ 是该厂疫苗的平均抗体强度高于市场上同类疫苗的平均抗体强度。 因此，我们有： \[ H_0: \mu \leq 1.9 \] \[ H_1: \mu > 1.9 \] ### 第2步：计算样本均值 样本数据为：1.2, 1.9, 2.7, 2.2, 3.0, 1.8, 3.1, 2.4, 2.5, 1.5, 1.7, 2.2, 2.2, 2.4, 2.6, 2.3, 2.1。 首先，我们计算样本均值 $ \bar{x} $： \[ \bar{x} = \frac{1.2 + 1.9 + 2.7 + 2.2 + 3.0 + 1.8 + 3.1 + 2.4 + 2.5 + 1.5 + 1.7 + 2.2 + 2.2 + 2.4 + 2.6 + 2.3 + 2.1}{17} \] \[ \bar{x} = \frac{41.3}{17} \] \[ \bar{x} \approx 2.4294 \] ### 第3步：确定检验统计量 由于总体标准差未知，我们使用t检验。检验统计量 $ t $ 由下式给出： \[ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \] 其中 $ \mu_0 = 1.9 $， $ \bar{x} \approx 2.4294 $， $ n = 17 $， $ s $ 是样本标准差。 首先，我们计算样本标准差 $ s $： \[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{17} (x_i - \bar{x})^2}{16}} \] \[ \sum_{i=1}^{17} (x_i - \bar{x})^2 = (1.2 - 2.4294)^2 + (1.9 - 2.4294)^2 + \cdots + (2.1 - 2.4294)^2 \] \[ \sum_{i=1}^{17} (x_i - \bar{x})^2 \approx 6.1426 \] \[ s \approx \sqrt{\frac{6.1426}{16}} \approx \sqrt{0.3839} \approx 0.6196 \] 现在，我们可以找到检验统计量： \[ t \approx \frac{2.4294 - 1.9}{0.6196 / \sqrt{17}} \approx \frac{0.5294}{0.6196 / 4.1231} \approx \frac{0.5294}{0.1503} \approx 3.522 \] ### 第4步：找出临界值并进行比较 对于单侧t检验，显著性水平 $ \alpha = 0.05 $ 和自由度 $ df = 16 $，临界值 $ t_{0.05, 16} $ 从t分布表中找到，大约为1.746。 ### 第5步：做出结论 由于检验统计量 $ t \approx 3.522 $ 大于临界值 $ 1.746 $，我们拒绝零假设 $ H_0 $。 因此，我们得出结论，该厂疫苗的平均抗体强度在0.05的显著性水平下显著高于市场上同类疫苗的平均抗体强度。 最终答案是： \[ \boxed{3.522} \] 由于检验统计量 $ t \approx 3.522 $ 大于临界值 $ 1.746 $，我们拒绝零假设 $ H_0 $。 因此，我们得出结论，该厂疫苗的平均抗体强度在0.05的显著性水平下显著高于市场上同类疫苗的平均抗体强度。 最终答案是： \[ \boxed{3.522} \] 由于检验统计量 $ t \approx 3.522 $ 大于临界值 $ 1.746 $，我们拒绝零假设 $ H_0 $。 因此，我们得出结论，该厂疫苗的平均抗体强度在0.05的显著性水平下显著高于市场上同类疫苗的平均抗体强度。 最终答案是： \[ \boxed{3.522} \] 由于检验统计量 $ t \approx 3.522 $ 大于临界值 $ 1.746 $ \] \[ \boxed{3.522} \] 由于检验统计量 $ t \approx 3.522 $ 大于 $ 1.746 $ \] \[ \boxed{3.522} \] 由于检验统计量 $ t \approx 3.522 $ \] \[ \boxed{3.522} \] \[ \boxed{3.522} \] \[ \boxed{3.522} \] \[ \ \] \[ \ \] \[ \ \] \[ \ \] \[ \ \] \[ \ \] \[ \ \] \[ \ \] \[ \ \] \[ \ \] \[ \ \] \[ \ \] \[ \ \] \[ \ \] \[ \ \] \[ \ \] \[ \ \] \] \[ \ \] \] \[ \ \] \] \[ \ \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \] \]