1.(多选题)关于矩阵的乘法运算,下列说法一定正确的是( )A. (AB)C=A(BC)B. A(B+C)=AB+ACC. (B+C)A=AB+ACD. 若AB=0,则必有A=0或者B=0.E. 若AB=AC且A≠0,则必有B=C.F. AB=BA

本题考查矩阵乘法运算的基本性质，解题思路是根据矩阵乘法的结合律、分配律以及矩阵乘法的特殊性质，对每个选项逐一进行分析判断。

选项A

矩阵乘法满足结合律，即对于任意三个可相乘的矩阵$A$、$B$、$C$，都有$(AB)C = A(BC)$。
设$A=(a_{ij})_{m\times p}$，$B=(b_{ij})_{p\times q}$，$C=(c_{ij})_{q\times n}$。
先计算$(AB)C$：
$AB$是一个$m\times q$的矩阵，设$AB = D=(d_{ij})_{m\times q}$，其中$d_{ij}=\sum_{k = 1}^{p}a_{ik}b_{kj}$。
再计算$(AB)C=DC$，设$DC = E=(e_{ij})_{m\times n}$，其中$e_{ij}=\sum_{k = 1}^{q}d_{ik}c_{kj}=\sum_{k = 1}^{q}(\sum_{l = 1}^{p}a_{il}b_{lk})c_{kj}$。
接着计算$A(BC)$：
$BC$是一个$p\times n$的矩阵，设$BC = F=(f_{ij})_{p\times n}$，其中$f_{ij}=\sum_{k = 1}^{q}b_{ik}c_{kj}$。
再计算$A(BC)=AF$，设$AF = G=(g_{ij})_{m\times n}$，其中$g_{ij}=\sum_{k = 1}^{p}a_{ik}f_{kj}=\sum_{k = 1}^{p}a_{ik}(\sum_{l = 1}^{q}b_{kl}c_{lj})$。
通过交换求和顺序可以证明$e_{ij}=g_{ij}$，所以$(AB)C = A(BC)$，选项A正确。

选项B

矩阵乘法满足左分配律，即对于任意三个可相乘的矩阵$A$、$B$、$C$，都有$A(B + C)=AB + AC$。
设$A=(a_{ij})_{m\times p}$，$B=(b_{ij})_{p\times n}$，$C=(c_{ij})_{p\times n}$。
$B + C$是一个$p\times n$的矩阵，设$B + C = H=(h_{ij})_{p\times n}$，其中$h_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$。
计算$A(B + C)=AH$，设$AH = I=(i_{ij})_{m\times n}$，其中$i_{ij}=\sum_{k = 1}^{p}a_{ik}h_{kj}=\sum_{k = 1}^{p}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum_{k = 1}^{p}a_{ik}b_{kj}+\sum_{k = 1}^{p}a_{ik}c_{kj}$。
而$AB$设为$J=(j_{ij})_{m\times n}$，其中$j_{ij}=\sum_{k = 1}^{p}a_{ik}b_{kj}$；$AC$设为$K=(k_{ij})_{m\times n}$，其中$k_{ij}=\sum_{k = 1}^{p}a_{ik}c_{kj}$。
所以$AB + AC = J + K$，$(J + K)$的$(i,j)$元素为$j_{ij}+k_{ij}=\sum_{k = 1}^{p}a_{ik}b_{kj}+\sum_{k = 1}^{p}a_{ik}c_{kj}=i_{ij}$，即$A(B + C)=AB + AC$，选项B正确。

选项C

矩阵乘法不满足右分配律，即$(B + C)A\neq BA + CA$。
例如，设$A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$。
$B + C=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，$(B + C)A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$。
$BA=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$，$CA=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$，$BA + CA=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$，这只是一个特殊情况，一般情况下不成立，所以选项C错误。

选项D

若$AB = 0$，不一定有$A = 0$或者$B = 0$。
例如，设$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$，则$AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$，但$A\neq 0$且$B\neq 0$，所以选项D错误。

选项E

若$AB = AC$且$A\neq 0$，不一定有$B = C$。
例如，设$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}$。
$AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$，$AC=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$，$AB = AC$且$A\neq 0$，但$B\neq C$，所以选项E错误。

选项F

矩阵乘法一般不满足交换律，即$AB\neq BA$。
例如，设$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$。
$AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times5 + 2\times7&1\times6 + 2\times8\\3\times5 + 4\times7&3\times6 + 4\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}$。
$BA=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\times1 + 6\times3&5\times2 + 6\times4\\7\times1 + 8\times3&7\times2 + 8\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}23&34\\31&46\end{pmatrix}$，$AB\neq BA$，所以选项F错误。