题目

2.1 设一个随机过程X(t)可以表示成：X(t)=2cos(2pi t+theta) -infty<infty式中theta是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(theta=0)=0.5，P(theta=pi/2)=0.5试求E[X(t)]和R_(x)(0,1)。

2.1 设一个随机过程X(t)可以表示成： $X(t)=2\cos(2\pi t+\theta)$ $-\infty<\infty$ 式中$\theta$是一个离散随机变量，它具有如下概率分布： $P(\theta=0)=0.5$，$P(\theta=\pi/2)=0.5$ 试求$E[X(t)]$和$R_{x}(0,1)$。

题目解答

答案

  1. 求 $E[X(t)]$
    由 $X(t) = 2\cos(2\pi t + \theta)$，其中 $\theta$ 的概率分布为 $P(\theta = 0) = 0.5$，$P(\theta = \pi/2) = 0.5$，得
    $E[X(t)] = 2E[\cos(2\pi t + \theta)] = 2 \left(0.5\cos(2\pi t) + 0.5\cos(2\pi t + \pi/2)\right) = \cos(2\pi t) - \sin(2\pi t)$
    或等价表示为 $\sqrt{2}\cos\left(2\pi t + \frac{\pi}{4}\right)$。

  2. 求 $R_X(0, 1)$
    自相关函数 $R_X(t_1, t_2) = E[X(t_1)X(t_2)]$，对于 $t_1 = 0$，$t_2 = 1$，有
    $R_X(0, 1) = E[X(0)X(1)] = E[4\cos^2(\theta)] = 4E[\cos^2(\theta)] = 4 \times 0.5 = 2$

答案：
$E[X(t)] = \boxed{\cos(2\pi t) - \sin(2\pi t)}$（或 $\boxed{\sqrt{2}\cos\left(2\pi t + \frac{\pi}{4}\right)}$）
$R_X(0, 1) = \boxed{2}$