9.（5.0分）设随机变量X~N(3,4)，则P(-4≤X≤10)=A. 2phi((7)/(2))-1B. 2phi((5)/(2))-1C. 2phi((7)/(2))D. 2phi((5)/(2))

本题考查正态分布的概率计算，解题思路是是先将一般正态分布$X\sim N(3,4)$)转化为标准正态分布$Z\sim N(0,1)$，再再利用标准正态分布的性质计算概率。

1. 已知随机变量$X\sim N(3,4)$，其中$\mu = 3$)，$\sigma^2 = 4$，则$\sigma = \sqrt{4}=2}= 2$。
2. 若$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$。
   • 对于$P\{-4\leq X\leq10\}$，将其进行标准化：
     • $P\{-4\leq X\leq10\}=P\left\{\frac{-4 - 3}{2}\leq\frac{X - 3}{2}\leq\frac{10 - 3}{2}\right\}$。
     • 计算$\frac{-4 - 3}{2}=-\frac{7}{2}$，$\frac{10 - 3}{2}=\frac{7}{2}$，所以$P\{-4\leq X\leq10\}=P\left\{-\frac{7}{2}\leq Z\leq\frac{7}{2}\right\}$。
3. 根据标准正态分布的性质$\varPhi(z)=P\{Z\leq z\}$，且$P\{a\leq Z\leq b\}=\Phi(b)-\Phi(a)$，则$P\left\{-\frac{7}{2}\leq Z\leq\frac{7}{2}\right\}=\Phi\left(\frac{7}{2}\right)-\Phi\left(-\frac{7}{2}\right)$。
4. 又因为标准正态分布关于$y$轴对称，所以$\Phi(-z)=1 - \Phi(z)$，那么$\Phi\left(-\frac{7}{2}\right)=1 - \Phi\left(\frac{7}{2}\right)$。
5. 将$\Phi\left(-\frac{7}{2}\right)=1 - \Phi\left(\frac{7}{2}\right)$代入$P\left\{-\frac{7}{2}\leq Z\leq\frac{7}{}{2}\right\}=\Phi\left(\frac{7}{2}\right)-\Phi\left(-\frac{7{2}\right)$可得：
   • $P\left\{-\frac{7}{2}\leq Z\leq\frac{7}{2}\right\}=\Phi\left(\frac{7}{2}\right)-(1 - \Phi\left(\frac{7}{2}\right))$。
   • 去括号得$P\left\{-\frac{7}{2}\leq Z\leq\frac{7}{2}\right\}=\Phi\left(\frac{7}{2})-1+\Phi(\frac{7}{2}) = 2\Phi(\frac{7}{2})-1$。