题目

9.若X为连续型随机变量,且具有无记忆性,则X服从 () 分布.-|||-A.均匀分布 B.指数分布 C.泊松分布 D.正态分布

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查对连续型随机变量无记忆性的理解，以及常见分布的性质。

解题核心思路：

  1. 无记忆性是指数分布的显著特征，即“未来不会因过去而改变”。
  2. 明确选项中各分布的性质：
    • 均匀分布：概率密度均匀，无特殊记忆特性。
    • 泊松分布：离散型分布，描述单位时间事件发生次数。
    • 正态分布：具有对称性和集中趋势，无无记忆性。
  3. 结合连续型随机变量的条件，排除离散型分布（泊松分布），最终锁定指数分布。

关键步骤：

  1. 无记忆性的定义：对任意$s, t > 0$，有
    $P(X > t + s \mid X > t) = P(X > s).$
  2. 指数分布的无记忆性：若$X \sim \text{Exp}(\lambda)$，则其生存函数为$P(X > t) = e^{-\lambda t}$，满足
    $P(X > t + s \mid X > t) = \frac{e^{-\lambda (t+s)}}{e^{-\lambda t}} = e^{-\lambda s} = P(X > s).$
  3. 排除其他选项：
    • 均匀分布、正态分布不具备上述性质。
    • 泊松分布为离散型，与题干中“连续型”矛盾。