设有甲班组工人日产量资料如下表所示日产量(件) 工人数(人)-|||-6以下 6-|||-sim 8 10-|||-sim 10 12-|||-sim 12 8-|||-12以上 4又已知乙班组工人日产量的平均指标为 11.9 件， 标准差 2.7 件，试判断甲乙哪个班组的平均日产量代表性大

考查要点：本题主要考查分组数据的平均数与标准差的计算，以及利用标准差比较两个班组平均日产量的代表性。

解题核心思路：

1. 计算甲班组的平均日产量：根据分组数据，取各组中点作为代表值，计算加权平均数。
2. 计算甲班组的标准差：通过各代表值与平均数的离差平方的平均数开平方得到。
3. 比较标准差：标准差越小，平均数的代表性越大。

破题关键点：

• 正确选取各组中点：如“6以下”取5，“6~8”取7等。
• 分组数据的加权计算：注意总人数为各组工人数之和。

1. 计算甲班组的平均日产量

取各组中点为代表值：

• $6$以下：$5$件
• $6\sim8$：$7$件
• $8\sim10$：$9$件
• $10\sim12$：$11$件
• $12$以上：$13$件

加权平均数公式：
$\bar{x}_甲 = \frac{\sum (代表值 \times 工人数)}{\sum 工人数} = \frac{5 \times 6 + 7 \times 10 + 9 \times 12 + 11 \times 8 + 13 \times 4}{6 + 10 + 12 + 8 + 4} = \frac{348}{40} = 8.7 \text{件}$

2. 计算甲班组的标准差

标准差公式：
$\sigma_甲 = \sqrt{\frac{\sum [工人数 \times (代表值 - \bar{x}_甲)^2]}{\sum 工人数}}$

计算各组离差平方和：

• $6 \times (5-8.7)^2 = 6 \times 13.69 = 82.14$
• $10 \times (7-8.7)^2 = 10 \times 2.89 = 28.9$
• $12 \times (9-8.7)^2 = 12 \times 0.09 = 1.08$
• $8 \times (11-8.7)^2 = 8 \times 5.29 = 42.32$
• $4 \times (13-8.7)^2 = 4 \times 18.49 = 73.96$

总和为：
$82.14 + 28.9 + 1.08 + 42.32 + 73.96 = 228.4$

方差为：
$\frac{228.4}{40} = 5.71$

标准差为：
$\sqrt{5.71} \approx 2.39 \text{件}$

3. 比较标准差

• 甲班组标准差：$\approx 2.39$件
• 乙班组标准差：$2.7$件

结论：甲班组标准差更小，平均日产量的代表性更大。