题目
某调查显示，每天每个家庭看电视的平均时间为7.25小时，假定该调查包括了200个家庭，样本标准差为2.5小时。据报道，10年前每天每个家庭看电视的平均时间为6.70小时。取显著性水平为0.025，该调查是否提供证据支持你认为的“如今每天每个家庭看电视的平均时间增加了”。其中H1为underline(输入答案)，为underline(输入答案)侧检验，保留2位小数的检验统计量为underline(输入答案)，拒绝域的临界值，保留2位小数为underline(输入答案)，文字写的结论是underline(输入答案)。
某调查显示，每天每个家庭看电视的平均时间为7.25小时，假定该调查包括了200个家庭，样本标准差为2.5小时。据报道，10年前每天每个家庭看电视的平均时间为6.70小时。取显著性水平为0.025，该调查是否提供证据支持你认为的“如今每天每个家庭看电视的平均时间增加了”。其中H1为$\underline{输入答案}$，为$\underline{输入答案}$侧检验，保留2位小数的检验统计量为$\underline{输入答案}$，拒绝域的临界值，保留2位小数为$\underline{输入答案}$，文字写的结论是$\underline{输入答案}$。
题目解答
答案
1. **假设设置**
$H_0: \mu \leq 6.70$（原假设），$H_1: \mu > 6.70$（备择假设）。
**检验类型**：右侧检验。
2. **计算检验统计量**
使用 t 检验（或近似 z 检验，因样本量大）：
\[
t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{7.25 - 6.70}{2.5 / \sqrt{200}} \approx 3.11
\]
3. **确定临界值**
显著性水平 $\alpha = 0.025$，自由度 $df = 199$，临界值近似为 $z_{0.025} = 1.96$。
4. **比较与结论**
检验统计量 $t \approx 3.11 > 1.96$，拒绝 $H_0$。
**答案**：
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
H_1: \mu > 6.70 & \text{(备择假设)} \\
\text{右} & \text{(右侧检验)} \\
3.11 & \text{(检验统计量)} \\
1.96 & \text{(临界值)} \\
\text{拒绝原假设，支持“如今每天每个家庭看电视的平均时间增加了”} & \text{(结论)}
\end{array}
}
\]
解析
本题主要考察假设检验的相关知识，具体包括假设设置、检验类型判断、检验统计量计算、临界值确定及结论推导，步骤如下：
1. 假设设置与检验检验类型
- 原假设 $H_0$：通常为“无变化”或“对立结论”，即10年前平均时间未增加，设为 $H_0: \mu \leq 6.70$（$\mu$为如今总体平均时间）。
- 备择假设 $H_1$：题目要支持的结论“平均时间增加了”，即 $H_1: \mu > 6.70$。
- 检验类型：因备择假设含“>”，属于右侧检验。
2. 检验统计量计算
样本量 $n=200$（大样本），样本均值 $\bar{x}=7.25$，样本标准差 $s=2.5$，总体均值假设 $\mu_0=6.70$。
由于样本量大，可用z检验近似（或t检验，自由度 $df=199$时t分布接近z分布）：
$\[
z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{7.25 - 6.70}{2.5/\sqrt{200}} = \frac{0.55}{2.5/14.1414} \approx \frac{0.55}{0.1736} \approx 3.11$
3. 临界值确定
显著性水平 $\alpha=0.025$，右侧检验的临界值为 $z_{\alpha}=z_{0.025}$。查标准正态分布表得 $z_{0.025}=1.96$（保留两位小数）。
4. 结论
检验统计量 $z=3.11 > 1.96$，落在拒绝域内，故拒绝原假设，支持“如今平均时间增加了”。