11.设x_(0)=sqrt(2)，x_(n)=sqrt(2+x_(n-1))，n=1,2,L,证明({x_{n)}}极限存在，并求lim_(ntoinfty)x_(n)

考查要点：本题主要考查数列极限的存在性证明及求解，涉及单调有界定理的应用和递推数列极限的求解方法。

解题核心思路：

1. 证明数列有界：通过数学归纳法证明所有项均小于2。
2. 证明数列单调递增：通过比较相邻项的大小，结合不等式变形。
3. 求极限：利用极限的定义建立方程求解。

破题关键点：

• 归纳假设：假设$x_{n} < 2$，推导$x_{n+1} < 2$。
• 单调性分析：通过$x_{n+1} - x_n$的符号判断数列递增。
• 方程求解：将递推关系代入极限表达式，解二次方程并排除负根。

1. 证明数列有界

数学归纳法：

• 基础情形：$x_0 = \sqrt{2} < 2$。
• 归纳假设：假设$x_{n} < 2$。
• 递推步骤：
  $x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} < \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2.$
  因此，对所有$n$，$x_n < 2$，数列有上界2。

2. 证明数列单调递增

比较$x_{n+1} - x_n$的符号：
$x_{n+1} - x_n = \sqrt{2 + x_n} - x_n = \frac{(2 + x_n) - x_n^2}{\sqrt{2 + x_n} + x_n}.$
分母$\sqrt{2 + x_n} + x_n > 0$，分子为$2 + x_n - x_n^2$。
由$x_n < 2$，可得$x_n^2 - x_n - 2 < 0$（因方程$x^2 - x - 2 = 0$的根为$x=2$和$x=-1$），故分子$2 + x_n - x_n^2 > 0$，因此$x_{n+1} > x_n$，数列单调递增。

3. 求极限

设$\lim_{n \to \infty} x_n = L$，则递推关系在极限下变为：
$L = \sqrt{2 + L}.$
两边平方得：
$L^2 = 2 + L \implies L^2 - L - 2 = 0.$
解得$L = 2$或$L = -1$。因数列各项均为正，故$L = 2$。