21. (4.0分) 已知 lim_(x to 2) (x^2+ax+b)/(x^2)-x-2=2，则a,b的值是( )。A. a=-8,b=2B. a=2,b为任意值C. a=2,b=-8D. a,b为任意值

考查要点：本题主要考查分式极限的求解，涉及0/0型不定式的处理方法，以及因式分解或洛必达法则的应用。

解题核心思路：

1. 判断分母在$x=2$处的值，发现分母为0，因此分子也必须为0才能形成0/0型不定式，从而极限可能存在。
2. 建立分子在$x=2$处为0的方程，得到$a$和$b$的关系式。
3. 通过因式分解或洛必达法则，将分式化简后求极限，建立关于$a$和$b$的第二个方程，联立求解。

破题关键点：

• 分子必须为0：当$x=2$时，分子$x^2 + ax + b = 0$。
• 极限化简：通过因式分解约去公共因子，或对分子分母求导，得到关于$a$和$b$的方程。

步骤1：分析分母和分子在$x=2$处的值

分母$x^2 - x - 2$在$x=2$时为：
$2^2 - 2 - 2 = 0$
因此，若极限存在且为有限值，分子$x^2 + ax + b$在$x=2$时也必须为0：
$2^2 + a \cdot 2 + b = 0 \quad \Rightarrow \quad 4 + 2a + b = 0 \quad \text{(方程1)}$

步骤2：因式分解分母

分母分解为：
$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

步骤3：因式分解分子

设分子可分解为$(x-2)(x + c)$，展开后为：
$x^2 + (c-2)x - 2c$
与原分子$x^2 + ax + b$比较，得：
$a = c-2, \quad b = -2c \quad \text{(方程2)}$

步骤4：求极限并建立方程

约去公共因子$(x-2)$后，分式变为：
$\frac{x + c}{x + 1}$
当$x \to 2$时，极限为：
$\frac{2 + c}{2 + 1} = 2 \quad \Rightarrow \quad 2 + c = 6 \quad \Rightarrow \quad c = 4$
代入方程2，得：
$a = 4 - 2 = 2, \quad b = -2 \cdot 4 = -8$