8.计算下列行列式的值:-|||-3-3-2-5|-|||-(14) 5 5 8 7-|||-2 5 4 6-|||-4 4 5 6

本题考查行列式的计算，解题思路是通过行列式的性质将原行列式化为上三角行列式，上三角行列式的值等于主对角线元素之积。

1. 首先，我们对原行列式$\begin{vmatrix}3& -3& -2& -5\\ 2& 5& 4& 6\\ 5& 5& 8& 7\\ 4& 4& 5& 6\end{vmatrix}$进行初等行变换。
   • 利用行列式的性质$r_i + k r_j$（第$i$行加上第$j$行的$k$倍，行列式的值不变），将第一行加上第二行的$2$倍，即$r_1 + 2r_2$：
     $\begin{vmatrix}3 + 2\times2& -3 + 2\times5& -2 + 2\times4& -5 + 2\times6\\ 2& 5& 4& 6\\ 5& 5& 8& 7\\ 4& 4& 5& 6\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}7& 7& 6& 7\\ 2& 5& 4& 6\\ 5& 5& 8& 7\\ 4& 4& 5& 6\end{vmatrix}$
   • 接着，将第一行减去第二行的$3$倍，即$r_1 - 3r_2$：
     $\begin{vmatrix}7 - 3\times2& 7 - 3\times5& 6 - 3\times4& 7 - 3\times6\\ 2& 5& 4& 6\\ 5& 5& 8& 7\\ 4& 4& 5& 6\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1& -8& -6& -11\\ 2& 5& 4& 6\\ 5& 5& 8& 7\\ 4& 4& 5& 6\end{vmatrix}$
   • 然后，将第二行减去第一行的$2$倍，即$r_2 - 2r_1$；第三行减去第一行的$5$倍，即$r_3 - 5r_1$；第四行减去第一行的$4$倍，即$r_4 - 4r_1$：
     $\begin{vmatrix}1& -8& -6& -11\\ 2 - 2\times1& 5 - 2\times(-8)& 4 - 2\times(-6)& 6 - 2\times(-11)\\ 5 - 5\times1& 5 - 5\times(-8)& 8 - 5\times(-6)& 7 - 5\times(-11)\\ 4 - 4\times1& 4 - 4\times(-8)& 5 - 4\times(-6)& 6 - 4\times(-11)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1& -8& -6& -11\\ 0& 21& 16& 28\\ 0& 45& 38& 62\\ 0& 36& 29& 50\end{vmatrix}$
2. 再对新的行列式进行进一步的初等行变换。
   • 将第二行乘以$\frac{45}{21}$，然后用第三行减去这个结果，即$r_3-\frac{45}{21}r_2$：
     $r_3-\frac{45}{21}r_2$后，第三行元素变为$(0,45 - \frac{45}{21}\times21,38 - \frac{45}{21}\times16,62 - \frac{45}{21}\times28)=(0,0,38 - \frac{720}{21},62 - \frac{1260}{21})=(0,0,\frac{798 - 720}{21},\frac{1302 - 1260}{21})=(0,0,\frac{78}{21},\frac{42}{21})=(0,0,\frac{26}{7},2)$
   • 将第二行乘以$\frac{36}{21}$，然后用第四行减去这个结果，即$r_4-\frac{36}{21}r_2$：
     $r_4-\frac{36}{21}r_2$后，第四行元素变为$(0,36 - \frac{36}{21}\times21,29 - \frac{36}{21}\times16,50 - \frac{36}{21}\times28)=(0,0,29 - \frac{576}{21},50 - \frac{1008}{21})=(0,0,\frac{609 - 576}{21},\frac{1050 - 1008}{21})=(0,0,\frac{33}{21},\frac{42}{21})=(0,0,\frac{11}{7},2)$
   • 此时行列式变为$\begin{vmatrix}1& -8& -6& -11\\ 0& 21& 16& 28\\ 0& 0&\frac{26}{7}& 2\\ 0& 0&\frac{11}{7}& 2\end{vmatrix}$
   • 再用第四行减去第三行乘以$\frac{11}{26}$，即$r_4-\frac{11}{26}r_3$：
     $r_4-\frac{11}{26}r_3$后，第四行元素变为$(0,0,\frac{11}{7}-\frac{11}{26}\times\frac{26}{7},2 - \frac{11}{26}\times2)=(0,0,0,2-\frac{11}{13})=(0,0,0,\frac{26 - 11}{13})=(0,0,0,\frac{15}{13})$
3. 得到上三角行列式$\begin{vmatrix}1& -8& -6& -11\\ 0& 21& 16& 28\\ 0& 0&\frac{26}{7}& 2\\ 0& 0&0&\frac{15}{13}\end{vmatrix}$。
   根据上三角行列式的值等于主对角线元素之积，可得：
   $1\times21\times\frac{26}{7}\times\frac{15}{13}=21\times\frac{26\times15}{7\times13}=21\times\frac{390}{91}=21\times\frac{30}{7}=90$