题目
17.（判断题，2.0分） 行列式D=|}a_(1)+b_(1)&c_(1)a_(2)+b_(2)&c_(2)|成立.（）A. 对B. 错
17.（判断题，2.0分） 行列式$D=\left|\begin{matrix}a_{1}+b_{1}&c_{1}\\a_{2}+b_{2}&c_{2}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}a_{1}&c_{1}\\a_{2}&c_{2}\end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}b_{1}&c_{1}\\b_{2}&c_{2}\end{matrix}\right|$成立.（）
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
本题考查二阶行列式的计算以及等式的验证。解题思路是分别计算等式左边的行列式和等式右边两个行列式的和，然后比较它们是否相等。
- 计算等式左边的行列式：
已知等式左边的行列式为$D = \left| \begin{matrix} a_1 + b_1 & c_1 \\ a_2 + b_2 & c_2 \end{matrix} \right|$。
根据二阶行列式的计算公式$\left| \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right| = ps - qr$，可得：
$D = (a_1 + b_1)c_2 - (a_2 + b_2)c_1$
根据乘法分配律展开式子：
$D = a_1c_2 + b_1c_2 - a_2c_1 - b_2c_1$
将式子重新组合：
$D = (a_1c_2 - a_2c_1) + (b_1c_2 - b_2c_1)$ - 计算等式右边两个行列式的和：
等式右边为$\left| \begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{matrix} \right|$。
分别计算两个行列式：- 对于$\left| \begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix} \right|$，根据二阶行列式计算公式可得$\left| \begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix} \right| = a_1c_2 - a_2c_1$。
- 对于$\left| \begin{matrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{matrix} \right|$，同理可得$\left| \begin{matrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{matrix} \right| = b_1c_2 - b_2c_1$。
将两个行列式相加：
$\left| \begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{matrix} \right| = (a_1c_2 - a_2c_1) + (b_1c_2 - b_2c_1)$
- 比较等式左右两边：
由上述计算可知，等式左边$D = (a_1c_2 - a_2c_1) + (b_1c_2 - b_2c_1)$，等式右边$\left| \begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{matrix} \right| = (a_1c_2 - a_2c_1) + (b_1c_2 - b_2c_1)$，等式左边等于等式右边，所以该等式成立。