题目
假设某城市购房业主的年龄服从正态分布,根据长期统计资料表明业主年龄X ~ N(35,10²).今年随机抽取100名业主进行统计调研,业主平均年龄30岁。在显著性水平α =0.01下,检验业主年龄是否显著减小.(_(0.005)=2.58, _(0.01)=2.32)
假设某城市购房业主的年龄服从正态分布,根据长期统计资料表明业主年龄X ~ N(35,10²).今年随机抽取100名业主进行统计调研,业主平均年龄30岁。在显著性水平α =0.01下,检验业主年龄是否显著减小.(
)
题目解答
答案
首先提出假设：
（业主年龄没有显著减小）
（业主年龄显著减小）
由于总体方差已知，使用 Z 检验。
因为 
，所以拒绝原假设
，接受 
，
即在显著性水平α = 0.01下，业主年龄显著减小。
解析
步骤 1：提出假设
- 原假设 ${H}_{0}:\mu =35$ （业主年龄没有显著减小）
- 备择假设 ${H}_{1}:\mu \lt 35$（业主年龄显著减小）
步骤 2：计算检验统计量
- 由于总体方差已知，使用 Z 检验。
- 计算 Z 值：$z=\dfrac {\overline {x}-\mu }{\dfrac {e}{\sqrt {n}}}=\dfrac {30-35}{\dfrac {10}{\sqrt {100}}}=\dfrac {-5}{1}=-5$
步骤 3：比较检验统计量与临界值
- 在显著性水平α = 0.01下，临界值为 ${Z}_{0.01}=-2.32$
- 比较计算得到的 Z 值与临界值：$z=-5\lt -2.32$
步骤 4：做出决策
- 因为 $z=-5\lt -2.32$，所以拒绝原假设 ${H}_{0}$，接受备择假设 ${H}_{1}$，即在显著性水平α = 0.01下，业主年龄显著减小。
- 原假设 ${H}_{0}:\mu =35$ （业主年龄没有显著减小）
- 备择假设 ${H}_{1}:\mu \lt 35$（业主年龄显著减小）
步骤 2：计算检验统计量
- 由于总体方差已知，使用 Z 检验。
- 计算 Z 值：$z=\dfrac {\overline {x}-\mu }{\dfrac {e}{\sqrt {n}}}=\dfrac {30-35}{\dfrac {10}{\sqrt {100}}}=\dfrac {-5}{1}=-5$
步骤 3：比较检验统计量与临界值
- 在显著性水平α = 0.01下，临界值为 ${Z}_{0.01}=-2.32$
- 比较计算得到的 Z 值与临界值：$z=-5\lt -2.32$
步骤 4：做出决策
- 因为 $z=-5\lt -2.32$，所以拒绝原假设 ${H}_{0}$，接受备择假设 ${H}_{1}$，即在显著性水平α = 0.01下，业主年龄显著减小。