4.27 某种商品每件表面上的疵点数 X服从泊松分布,平均每件上有0.8个疵点.若规定表面不超过一个疵点的为一等品; 价值10元,表面疵点数大于1不多于4的为二等品,价值8元;表面疵点数有4个以上者为废品,求产品价值的均值和方差.

步骤 1：定义随机变量
设随机变量Y表示产品的价值，则Y的取值为0,8,10，分别对应废品、二等品和一等品。根据题意，X服从泊松分布，参数为0.8，即X∼P(0.8)。

步骤 2：计算概率
根据泊松分布的性质，计算Y取不同值的概率。
- P{Y = 0} = P{X > 4} = 1 - P{X ≤ 4}
- P{Y = 8} = P{1 < X ≤ 4} = P{X ≤ 4} - P{X ≤ 1}
- P{Y = 10} = P{X ≤ 1}

步骤 3：计算期望
根据概率和价值，计算产品价值的期望E(Y)。
E(Y) = 0 * P{Y = 0} + 8 * P{Y = 8} + 10 * P{Y = 10}

步骤 4：计算方差
根据期望和概率，计算产品价值的方差D(Y)。
D(Y) = E(Y^2) - E^2(Y)
其中，E(Y^2) = 0^2 * P{Y = 0} + 8^2 * P{Y = 8} + 10^2 * P{Y = 10}