题目

4.设Xsim N(3,2^2)，试求：(1)P(X<5)；(2)P(X>9).(已知Phi(1)=0.8413,Phi(2)=0.9772,Phi(3)=0.9987).

4.设$X\sim N(3,2^{2})$，试求：(1)$P(X<5)$；(2)$P(X>9)$.(已知$\Phi(1)=0.8413,\Phi(2)=0.9772,\Phi(3)=0.9987$).

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要使用正态分布的性质和标准正态分布表。正态分布 $X \sim N(3, 2^2)$ 表示均值 $\mu = 3$ 和标准差 $\sigma = 2$。 ### (1) 求 $P(X < 5)$ 首先，我们需要将 $X$ 转换为标准正态变量 $Z$，使用公式 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。 对于 $X = 5$： \[ Z = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] 现在，我们需要找到 $P(Z < 1)$。根据标准正态分布表，我们已知 $\Phi(1) = 0.8413$。 因此： \[ P(X < 5) = P(Z < 1) = \Phi(1) = 0.8413 \] ### (2) 求 $P(X > 9)$ 同样，将 $X$ 转换为标准正态变量 $Z$。 对于 $X = 9$： \[ Z = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] 现在，我们需要找到 $P(Z > 3)$。根据标准正态分布的对称性， $P(Z > 3) = 1 - P(Z \leq 3)$。 根据标准正态分布表，我们已知 $\Phi(3) = 0.9987$。 因此： \[ P(Z \leq 3) = \Phi(3) = 0.9987 \] \[ P(Z > 3) = 1 - \Phi(3) = 1 - 0.9987 = 0.0013 \] ### 最终答案 1. $P(X < 5) = 0.8413$ 2. $P(X > 9) = 0.0013$ \[ \boxed{0.8413, 0.0013} \]

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，需要掌握标准化转换和标准正态分布函数Φ(z)的使用。

解题核心思路：

  1. 标准化转换：将任意正态分布转化为标准正态分布，利用公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
  2. 概率计算：
    • 对于$P(X < a)$，直接查Φ(z)的值；
    • 对于$P(X > b)$，利用对称性转化为$1 - \Phi(z)$。

破题关键点：

  • 正确计算标准化后的z值；
  • 根据题目要求选择对应的概率表达式。

第（1）题：求$P(X < 5)$

标准化转换

将$X = 5$代入标准化公式：
$Z = \frac{5 - 3}{2} = 1$

查标准正态分布表

根据已知$\Phi(1) = 0.8413$，直接得到：
$P(X < 5) = P(Z < 1) = \Phi(1) = 0.8413$

第（2）题：求$P(X > 9)$

标准化转换

将$X = 9$代入标准化公式：
$Z = \frac{9 - 3}{2} = 3$

利用对称性计算概率

$P(X > 9) = P(Z > 3) = 1 - P(Z \leq 3) = 1 - \Phi(3)$
根据已知$\Phi(3) = 0.9987$，得：
$P(Z > 3) = 1 - 0.9987 = 0.0013$