复数((sqrt {3)-i)}^5((sqrt {3)-i)}^5的指数表达式为()A ((sqrt {3)-i)}^5B ((sqrt {3)-i)}^5C ((sqrt {3)-i)}^5D ((sqrt {3)-i)}^5
复数
的指数表达式为()
A 
B 
C 
D 
题目解答
答案
首先，我们知道复数可以表示为三角形式，即
,其中r是复数的模，\theta是复数的辐角。
对于给定的复数
,我们可以计算其模和辐角。
模r可以通过公式
计算，其中a和b分别是复数的实部和虚部
所以，
。
辐角
可以通过公式
计算，但需要注意所在的象限。
由于实部为正，虚部为负，所以复数\sqrt3-i位于第四象限。
因此，
(因为
)。
所以，复数可以表示为
。
接下来，我们利用复数的指数形式
和复数乘方的性质
来求解。
将的三角形式代入，得到：
由于
，所以
综上所述，本题故选C。
解析
本题考查复数的指数形式及其幂运算。解题核心思路是：
- 将复数转换为极坐标形式，计算模和辐角；
- 应用指数形式的幂运算规则，即模取幂、辐角乘以幂指数；
- 注意指数形式中必须包含虚数单位$i$，避免遗漏。
步骤1：计算复数的模
复数$\sqrt{3}-i$的实部为$\sqrt{3}$，虚部为$-1$，模为：
$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$
步骤2：确定辐角
复数位于第四象限，$\tan\theta = \dfrac{-1}{\sqrt{3}} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，对应角度为$\theta = -\dfrac{\pi}{6}$（或等价地，$\dfrac{11\pi}{6}$）。
步骤3：转换为指数形式
复数可表示为：
$\sqrt{3} - i = 2 \left( \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \right) = 2e^{-i\pi/6}$
步骤4：计算五次幂
根据指数形式的幂运算规则：
$(\sqrt{3} - i)^5 = \left(2e^{-i\pi/6}\right)^5 = 2^5 e^{-i\cdot5\pi/6} = 32e^{-5\pi i/6}$
步骤5：匹配选项
选项C的指数部分应为$-5\pi i/6$，即$32e^{-5\pi i/6}$，因此正确答案为C。