若x_1,x_2,...,x_n是Xsim N(mu,sigma^2)的样本观测值。则sigma^2的极大似然估计值hat(sigma)^2=(）。 A. (1)/(n)sum_(i=1)^n(X_i-mu)^2B. (1)/(n)sum_(i=1)^n(X_i-overline(X))^k (k=1,2,...)C. (1)/(n-1)sum_(i=1)^n(X_i-overline(X))^2D. (1)/(n)sum_(i=1)^n(X_i-overline(X))^2

为了找到正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的样本观测值 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的方差 $\sigma^2$ 的极大似然估计值，我们需要遵循以下步骤： 1. **写出似然函数**： 正态分布的概率密度函数为： \[ f(x_i; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}\right) \] 似然函数 $L(\mu, \sigma^2)$ 是 $n$ 个观测值的联合概率密度函数： \[ L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \mu, \sigma^2) = \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^n \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2\right) \] 2. **取似然函数的对数**： 为了简化求导，我们取似然函数的自然对数： \[ \ell(\mu, \sigma^2) = \ln L(\mu, \sigma^2) = -\frac{n}{2} \ln(2\pi) - \frac{n}{2} \ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \] 3. **求 $\ell(\mu, \sigma^2)$ 关于 $\sigma^2$ 的偏导数**： 我们需要找到 $\ell(\mu, \sigma^2)$ 关于 $\sigma^2$ 的偏导数，并将其设为零以找到临界点： \[ \frac{\partial \ell}{\partial \sigma^2} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \] 将偏导数设为零： \[ -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = 0 \] 乘以 $2(\sigma^2)^2$： \[ -n\sigma^2 + \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = 0 \] 解 $\sigma^2$： \[ \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = n\sigma^2 \implies \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \] 4. **结论**： $\sigma^2$ 的极大似然估计值是： \[ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \] 因此，正确答案是 $\boxed{A}$.