题目
一.单选题 (共14题,70.0分)-|||-12.(单 5.分)-|||-.sim N(0,(sigma )^2) ,(X1:X2:X3:X;)为样本,,,则统计量 dfrac ({X)_(1)+(X)_(2)}(sqrt {{{X)_(3)}^2+({X)_(4)}^2}} 服从的分布为 ()-|||-A-|||-F (2,2)-|||-B-|||-x (2)-|||-(-|||-t(2)-|||-D N (0,1)
题目解答
答案
：由题意可知，X1+X2~N(0,2σ2)，X32+X42~χ2(2)，所以1/√2σX1+X2~t(2)，故选C。
C
C
解析
步骤 1：确定样本分布
给定 $Z \sim N(0, \sigma^2)$，样本 $(X_1, X_2, X_3, X_4)$ 也服从正态分布，即 $X_i \sim N(0, \sigma^2)$，$i = 1, 2, 3, 4$。
步骤 2：计算 $X_1 + X_2$ 的分布
由于 $X_1$ 和 $X_2$ 都是独立的正态分布，$X_1 + X_2$ 也服从正态分布，其均值为 $0$，方差为 $2\sigma^2$。因此，$X_1 + X_2 \sim N(0, 2\sigma^2)$。
步骤 3：计算 $X_3^2 + X_4^2$ 的分布
由于 $X_3$ 和 $X_4$ 都是独立的正态分布，$X_3^2$ 和 $X_4^2$ 都服从 $\chi^2$ 分布，自由度为 $1$。因此，$X_3^2 + X_4^2$ 服从 $\chi^2$ 分布，自由度为 $2$。即 $X_3^2 + X_4^2 \sim \chi^2(2)$。
步骤 4：计算统计量的分布
统计量 $\dfrac{X_1 + X_2}{\sqrt{X_3^2 + X_4^2}}$ 可以看作是两个独立的随机变量的比值，其中分子 $X_1 + X_2$ 服从 $N(0, 2\sigma^2)$，分母 $\sqrt{X_3^2 + X_4^2}$ 服从 $\chi(2)$。根据 t 分布的定义，该统计量服从 t 分布，自由度为 $2$。即 $\dfrac{X_1 + X_2}{\sqrt{X_3^2 + X_4^2}} \sim t(2)$。
给定 $Z \sim N(0, \sigma^2)$，样本 $(X_1, X_2, X_3, X_4)$ 也服从正态分布，即 $X_i \sim N(0, \sigma^2)$，$i = 1, 2, 3, 4$。
步骤 2：计算 $X_1 + X_2$ 的分布
由于 $X_1$ 和 $X_2$ 都是独立的正态分布，$X_1 + X_2$ 也服从正态分布，其均值为 $0$，方差为 $2\sigma^2$。因此，$X_1 + X_2 \sim N(0, 2\sigma^2)$。
步骤 3：计算 $X_3^2 + X_4^2$ 的分布
由于 $X_3$ 和 $X_4$ 都是独立的正态分布，$X_3^2$ 和 $X_4^2$ 都服从 $\chi^2$ 分布，自由度为 $1$。因此，$X_3^2 + X_4^2$ 服从 $\chi^2$ 分布，自由度为 $2$。即 $X_3^2 + X_4^2 \sim \chi^2(2)$。
步骤 4：计算统计量的分布
统计量 $\dfrac{X_1 + X_2}{\sqrt{X_3^2 + X_4^2}}$ 可以看作是两个独立的随机变量的比值，其中分子 $X_1 + X_2$ 服从 $N(0, 2\sigma^2)$，分母 $\sqrt{X_3^2 + X_4^2}$ 服从 $\chi(2)$。根据 t 分布的定义，该统计量服从 t 分布，自由度为 $2$。即 $\dfrac{X_1 + X_2}{\sqrt{X_3^2 + X_4^2}} \sim t(2)$。