设某种电子器件的寿命(以h计)T服从双参数的指数分布，其概率密度为f(t)=dfrac{1)(theta )(e)^-(t-c)/theta ，tgeqslant c 0，mathrm(其他).(1)求theta 与c的最大似然估计值.(2)求theta 与c的矩估计量.

考查要点：本题主要考查双参数指数分布的最大似然估计和矩估计的求解方法。

解题思路：

1. 最大似然估计：
   • 关键点：似然函数的构造依赖于所有样本均满足$t \geq c$，因此$c$的估计值应取样本最小值$x_1$。在固定$c = x_1$后，对$\theta$求导并解方程即可得到其估计值。
2. 矩估计：
   • 关键点：利用双参数指数分布的均值和方差公式，建立矩方程。均值为$c + \theta$，方差为$\theta^2$，通过样本均值和样本方差解方程组得到估计量。

第（1）题：最大似然估计值

构造似然函数

样本的联合概率密度为：
$L(c, \theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{1}{\theta} e^{-(x_i - c)/\theta} \right) \cdot I(x_i \geq c)$
其中，指示函数$I(x_i \geq c)$要求所有$x_i \geq c$，因此$c$的最大似然估计值为样本最小值$x_1$。

求$\theta$的估计值

在$c = x_1$时，似然函数简化为：
$L(\theta) = \left( \frac{1}{\theta} \right)^n e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n (x_i - x_1)}$
取对数似然函数并求导：
$\ln L(\theta) = -n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n (x_i - x_1)$
$\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n (x_i - x_1) = 0$
解得：
$\hat{\theta} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - x_1) = \overline{x} - x_1$

第（2）题：矩估计量

均值与方差公式

双参数指数分布的均值为$c + \theta$，方差为$\theta^2$。令样本均值$\overline{X}$和样本方差$S^2$分别对应总体矩：
$\begin{cases}\overline{X} = c + \theta \\S^2 = \theta^2\end{cases}$

解方程组

由第二个方程得$\hat{\theta} = \sqrt{S^2} = S$，代入第一个方程得：
$\hat{c} = \overline{X} - S$
其中，$S = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2}$。