题目
4.对于一个学校而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量.设一名学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生,各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布.(1）求参加会议的家长数X超过450的概率;(2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率﹒
4.对于一个学校而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量.设一名学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生,各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布.
(1）求参加会议的家长数X超过450的概率;
(2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率﹒
题目解答
答案
解答:
(1) 我们先计算参加会议的家长数不超过450的概率，即P(X ≤ 450)。
根据泊松分布的公式，事件X ≤ 450的概率可以表示为：
其中λ是泊松分布的参数，由于我们假设学生参加会议的家长数服从同一分布，所以
。
现在，我们可以计算出P(X ≤ 450)的近似值。
.
接下来，我们可以计算出
450) ≈ 1 - P(X ≤ 450) ≈ 1 - 0.864274 = 0.135726" data-width="511" data-height="25" data-size="5636" data-format="png" style="max-width:100%">.
综上所述，参加会议的家长数超过450的概率为0.1357（保留四位小数）。
(2) 我们要求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率，即P(X ≤ 340)。
根据泊松分布的公式，我们可以计算出P(X ≤ 340)的近似值。
综上所述，有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率为0.9938（保留四位小数）。
综上所述，参加会议的家长数超过450的概率为0.1357，有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率为0.9938。
解析
步骤 1：计算家长数的期望值
根据题目，一名学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05, 0.8, 0.15。因此，一名学生参加会议的家长数的期望值为：
$E(X) = 0 \times 0.05 + 1 \times 0.8 + 2 \times 0.15 = 0 + 0.8 + 0.3 = 1.1$
步骤 2：计算总家长数的期望值
学校共有400名学生，因此，总家长数的期望值为：
$E(Total) = 400 \times E(X) = 400 \times 1.1 = 440$
步骤 3：计算家长数超过450的概率
由于家长数的分布接近于正态分布，我们可以使用正态分布来近似计算家长数超过450的概率。首先，我们需要计算家长数的标准差。家长数的方差为：
$Var(X) = (0 - 1.1)^2 \times 0.05 + (1 - 1.1)^2 \times 0.8 + (2 - 1.1)^2 \times 0.15 = 0.05 \times 1.21 + 0.8 \times 0.01 + 0.15 \times 0.81 = 0.0605 + 0.008 + 0.1215 = 0.19$
家长数的标准差为：
$\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{0.19} \approx 0.436$
总家长数的标准差为：
$\sigma_{Total} = \sqrt{400} \times \sigma = 20 \times 0.436 = 8.72$
家长数超过450的概率为：
$P(X > 450) = P\left(Z > \frac{450 - 440}{8.72}\right) = P(Z > 1.147) \approx 0.125$
步骤 4：计算有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率
有1名家长来参加会议的学生数的期望值为：
$E(OneParent) = 400 \times 0.8 = 320$
有1名家长来参加会议的学生数的标准差为：
$\sigma_{OneParent} = \sqrt{400 \times 0.8 \times 0.2} = \sqrt{64} = 8$
有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率为：
$P(OneParent \leq 340) = P\left(Z \leq \frac{340 - 320}{8}\right) = P(Z \leq 2.5) \approx 0.9938$
根据题目，一名学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05, 0.8, 0.15。因此，一名学生参加会议的家长数的期望值为：
$E(X) = 0 \times 0.05 + 1 \times 0.8 + 2 \times 0.15 = 0 + 0.8 + 0.3 = 1.1$
步骤 2：计算总家长数的期望值
学校共有400名学生，因此，总家长数的期望值为：
$E(Total) = 400 \times E(X) = 400 \times 1.1 = 440$
步骤 3：计算家长数超过450的概率
由于家长数的分布接近于正态分布，我们可以使用正态分布来近似计算家长数超过450的概率。首先，我们需要计算家长数的标准差。家长数的方差为：
$Var(X) = (0 - 1.1)^2 \times 0.05 + (1 - 1.1)^2 \times 0.8 + (2 - 1.1)^2 \times 0.15 = 0.05 \times 1.21 + 0.8 \times 0.01 + 0.15 \times 0.81 = 0.0605 + 0.008 + 0.1215 = 0.19$
家长数的标准差为：
$\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{0.19} \approx 0.436$
总家长数的标准差为：
$\sigma_{Total} = \sqrt{400} \times \sigma = 20 \times 0.436 = 8.72$
家长数超过450的概率为：
$P(X > 450) = P\left(Z > \frac{450 - 440}{8.72}\right) = P(Z > 1.147) \approx 0.125$
步骤 4：计算有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率
有1名家长来参加会议的学生数的期望值为：
$E(OneParent) = 400 \times 0.8 = 320$
有1名家长来参加会议的学生数的标准差为：
$\sigma_{OneParent} = \sqrt{400 \times 0.8 \times 0.2} = \sqrt{64} = 8$
有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率为：
$P(OneParent \leq 340) = P\left(Z \leq \frac{340 - 320}{8}\right) = P(Z \leq 2.5) \approx 0.9938$