已知一本300页的书中,每页的印刷错误的个数服从参数为 0.2的泊松分布,试求整书中的印刷错误总数不多于 70个的概率.

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，以及如何利用正态分布近似求解泊松分布的和的概率问题。

解题核心思路：

1. 识别问题类型：题目中多个独立同分布的泊松随机变量之和的概率计算。
2. 应用中心极限定理：当变量个数足够大时，和的分布近似正态分布。
3. 标准化处理：将求和问题转化为标准正态分布的概率计算。

破题关键点：

• 确定总和的均值与方差：每个泊松变量的均值和方差均为参数$\lambda=0.2$，总和的均值为$300 \times 0.2 = 60$，方差同理为$60$。
• 正态近似：利用中心极限定理，将总和近似为$N(60, 60)$。
• 标准化计算：将问题转化为标准正态分布的概率，注意是否需要连续性修正（本题未使用）。

步骤1：定义变量与分布

设每页印刷错误个数为$X_i \sim \text{Poisson}(0.2)$，总和为$X = \sum_{i=1}^{300} X_i$。根据泊松分布性质：
$E(X_i) = 0.2, \quad D(X_i) = 0.2$

步骤2：计算总和的均值与方差

总和的均值和方差为：
$E(X) = 300 \times 0.2 = 60, \quad D(X) = 300 \times 0.2 = 60$

步骤3：应用中心极限定理

当$n=300$较大时，$X$近似服从正态分布：
$X \approx N(60, 60)$

步骤4：标准化与概率计算

求$P(X \leq 70)$，标准化后：
$Z = \frac{X - E(X)}{\sqrt{D(X)}} = \frac{70 - 60}{\sqrt{60}} \approx 1.29$
查标准正态分布表得：
$\Phi(1.29) \approx 0.90147$