设总体 X sim N(mu, sigma^2), X_1, X_2, ldots, X_n 是来自总体 X 的一个样本，则 sigma^2 的最大似然估计量为（）A. (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2B. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2C. (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i^2D. X^2

本题考查正态分布参数总体方差的最大似然估计。解题思路是先写出(写出正态分布总体的似然函数，然后对似然函数取对数，接着分别对似然函数关于总体均值$\mu$和总体方差$\sigma^2$求偏导数并令偏导数为零，解出总体均值$\mu$和总体方差方差$\(\sigma^2$的估计值，最后将总体均值$\mu$的估计值代入总体方差$\sigma^2$的估计值中，得到总体方差$\sigma^2$的最大似然估计量。

设总体$X \\)，样本为\(X_1, X_2, \ldots, X_n$。似然函数为：
$L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp(-$-\frac{(X_i - \mu)^2}{2\sigma^2}$ 取对数得： \[ \ell(\mu, \sigma^2) = -\frac{n}{2} \log(2\pi) - \frac{n}{2} \log(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mumu)^2 求偏导数并设为零： 1. 关于$\mu$： $\frac{\partial \ell}{\partial \mu} = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu) = 0$ 解得$\mu = \overline{X}$。 2. 关于$\sigma^2$： $\frac{\partial \ell}{\partial \partial \sigma^2} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{22(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 = 0$ 解得$\sigma^2 = \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 \}$。 代入$\mu = \overline{X}$，得$\sigma^2$的最大似然估计量为： \[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$