题目

7.设总体X服从N(mu,sigma^2)，其中mu和sigma^2均未知，X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体X的一个样本，记overline(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)，S^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2，则(sigma^4)/(2)置信度为1-α的置信区间为____。

7.设总体X服从$N(\mu,\sigma^{2})$，其中$\mu$和$\sigma^{2}$均未知，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体X的一个样本，记$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$，$S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$，则$\frac{\sigma^{4}}{2}$置信度为1-α的置信区间为____。

题目解答

答案

为了找到$\frac{\sigma^4}{2}$置信度为$1-\alpha$的置信区间，我们首先需要确定$\sigma^2$的置信区间，然后利用它来找到$\sigma^4$的置信区间，最后调整以得到$\frac{\sigma^4}{2}$的置信区间。 1. **找到$\sigma^2$的置信区间：** 给定一个来自正态总体$N(\mu, \sigma^2)$的样本$X_1, X_2, \ldots, X_n$，样本方差$S^2$由下式给出： \[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \] 量$(n-1)S^2 / \sigma^2$服从自由度为$n-1$的卡方分布，即$\chi^2_{n-1}$。因此，$\sigma^2$的置信度为$1-\alpha$的置信区间可以通过以下不等式找到： \[ \chi^2_{\alpha/2, n-1} < \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} < \chi^2_{1-\alpha/2, n-1} \] 重新排列这个不等式，我们得到： \[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} \] 2. **找到$\sigma^4$的置信区间：** 为了找到$\sigma^4$的置信区间，我们对$\sigma^2$的置信区间中的所有部分平方： \[ \left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} \right)^2 < \sigma^4 < \left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} \right)^2 \] 3. **找到$\frac{\sigma^4}{2}$的置信区间：** 最后，为了找到$\frac{\sigma^4}{2}$的置信区间，我们将$\sigma^4$的置信区间中的所有部分除以2： \[ \frac{1}{2} \left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} \right)^2 < \frac{\sigma^4}{2} < \frac{1}{2} \left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} \right)^2 \] 因此，$\frac{\sigma^4}{2}$置信度为$1-\alpha$的置信区间为： \[ \boxed{\left( \frac{(n-1)^2 S^4}{2 \chi^4_{1-\alpha/2, n-1}}, \frac{(n-1)^2 S^4}{2 \chi^4_{\alpha/2, n-1}} \right)} \]

解析

考查要点：本题主要考查正态总体方差的置信区间构造方法，以及如何通过函数变换得到目标参数的置信区间。

解题核心思路：

  1. 利用卡方分布构造σ²的置信区间：根据样本方差与总体方差的关系，结合卡方分布的分位数确定σ²的置信区间。
  2. 函数变换法：将σ²的置信区间通过平方运算转换为σ⁴的置信区间，再通过除以2得到σ⁴/2的置信区间。

破题关键点：

  • 正确应用卡方分布的性质：明确$(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$。
  • 保持不等式方向：平方和除以2均为单调递增操作，不会改变置信区间的上下限顺序。

步骤1：构造σ²的置信区间

根据卡方分布的性质，有：
$\chi^2_{\alpha/2, n-1} < \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} < \chi^2_{1-\alpha/2, n-1}$
解得σ²的置信区间为：
$\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}$

步骤2：构造σ⁴的置信区间

对σ²的置信区间两边平方：
$\left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} \right)^2 < \sigma^4 < \left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} \right)^2$

步骤3：构造σ⁴/2的置信区间

将σ⁴的置信区间两边除以2：
$\frac{1}{2} \left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} \right)^2 < \frac{\sigma^4}{2} < \frac{1}{2} \left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} \right)^2$