3-11 质量为0.06kg,长0.2m的均匀细棒,可绕垂直于棒的一端的光滑水平轴转-|||-动.如将此棒放在水平位置,然后任其开始转动.求:(1)开始转动时的角加速度;(2)-|||-落到竖直位置时的动能;(3)落至竖直位置时的动量矩(指对转轴).取 =10mcdot (s)^-2.

考查要点：本题主要考查刚体转动的动力学问题，涉及转动惯量、转动定律、能量守恒及角动量的计算。

解题思路：

1. 角加速度：利用转动定律 $\boldsymbol{M = I \alpha}$，需先计算转动惯量 $I$ 和初始时刻的力矩 $M$。
2. 动能：通过机械能守恒，将重力势能的减少转化为动能的增加。
3. 动量矩：结合动能与角动量的关系 $L = I \omega$，需先求出角速度 $\omega$。

关键点：

• 转动惯量公式：均匀细棒绕一端转动的转动惯量为 $I = \frac{1}{3} m l^2$。
• 力矩计算：初始时刻力矩由重力的力臂决定，力臂为棒长的一半。
• 能量守恒：势能变化等于动能增量，质心下降高度为 $l/2$。
• 角动量与动能关系：通过 $\boldsymbol{E_k = \frac{1}{2} I \omega^2}$ 联立求解。

第（1）题：开始转动时的角加速度

计算转动惯量

均匀细棒绕一端的转动惯量为：
$I = \frac{1}{3} m l^2 = \frac{1}{3} \cdot 0.06 \cdot (0.2)^2 = 0.0008 \, \text{kg·m}^2$

计算初始力矩

初始时刻棒水平，重力的力臂为 $l/2$，力矩为：
$M = m g \frac{l}{2} = 0.06 \cdot 10 \cdot 0.1 = 0.06 \, \text{N·m}$

应用转动定律

角加速度为：
$\alpha = \frac{M}{I} = \frac{0.06}{0.0008} = 75 \, \text{rad·s}^{-2}$

第（2）题：竖直位置时的动能

能量守恒分析

重力势能的减少等于动能的增加：
$\Delta U = -m g \frac{l}{2} = -0.06 \cdot 10 \cdot 0.1 = -0.06 \, \text{J}$
因此动能为：
$E_k = 0.06 \, \text{J}$

第（3）题：竖直位置时的动量矩

求角速度

由动能公式 $E_k = \frac{1}{2} I \omega^2$，得：
$\omega = \sqrt{\frac{2 E_k}{I}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.06}{0.0008}} = \sqrt{150} \approx 12.247 \, \text{rad·s}^{-1}$

计算动量矩

动量矩为：
$L = I \omega = 0.0008 \cdot 12.247 \approx 9.8 \times 10^{-3} \, \text{kg·m}^2\text{·s}^{-1}$