【题目]-|||-18.函数 =sqrt (2-x)+arcsin dfrac (1)(x) 的定义域是 __

本题考查函数定义域的求解，解题的关键在于分别确定函数中根式和反正弦函数有意义的条件，然后取它们的交集。

步骤一：分析根式部分$\sqrt{2 - x}$有意义的条件

对于二次根式$\sqrt{a}$，要使其有意义，则根号下的数$a\geqslant0$。
在函数$y=\sqrt {2-x}+\arcsin \dfrac {1}{x}$中，$a = 2 - x$，所以有$2 - x\geqslant0$。
解这个不等式：
$2 - x\geqslant0$，移项可得$-x\geqslant -2$，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得到$x\leqslant 2$。

步骤二：分析反正弦函数$\arcsin\frac{1}{x}$有意义的条件

对于反正弦函数$\arcsin u$，要使其有意义，则$-1\leqslant u\leqslant 1$。
在函数$y=\sqrt {2-x}+\arcsin \dfrac {1}{x}$中，$u = \frac{1}{x}$，所以有$-1\leqslant\frac{1}{x}\leqslant 1$。
分别求解不等式$\frac{1}{x}\geqslant -1$和$\frac{1}{x}\leqslant 1$：

• 解不等式$\frac{1}{x}\geqslant -1$：
  移项得到$\frac{1}{x}+1\geqslant 0$，通分可得$\frac{1 + x}{x}\geqslant 0$。
  这等价于$\begin{cases}x(1 + x)\geqslant 0 \\ x\neq 0 \end{cases}$，解$x(1 + x)\geqslant 0$，可得$x\leqslant -1$或$x\geqslant 0$，再结合$x\neq 0$，所以$\frac{1}{x}\geqslant -1$的解为$x\leqslant -1$或$x > 0$。
• 解不等式$\frac{1}{x}\leqslant 1$：
  移项得到$\frac{1}{x}-1\leqslant 0$，通分可得$\frac{1 - x}{x}\leqslant 0$。
  这等价于$\begin{cases}x(1 - x)\leqslant 0 \\ x\neq 0 \end{cases}$，解$x(1 - x)\leqslant 0$，即$x(x - 1)\geqslant 0$，可得$x\leqslant 0$或$x\geqslant 1$，再结合$x\neq 0$，所以$\frac{1}{x}\leqslant 1$的解为$x < 0$或$x\geqslant 1$。

综合$\frac{1}{x}\geqslant -1$和$\frac{1}{x}\leqslant 1$的解，取交集可得$x\leqslant -1$或$x\geqslant 1$。

步骤三：求两个条件的交集

由步骤一得到$x\leqslant 2$，由步骤二得到$x\leqslant -1$或$x\geqslant 1$，取它们的交集，即同时满足这两个条件的$x$的取值范围。
可得$x\leqslant -1$或$1\leqslant x\leqslant 2$。