题目
14.某人在家中时间间隔t(以h计)内接到电话的次数X服从参数为2t的泊松分布.-|||-(1)若他外出计划用时10min,问:其间电话铃响一次的概率是多少?-|||-(2)若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5,问:他外出应控制最长时间是多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定泊松分布的参数
根据题目，电话次数X服从参数为2t的泊松分布，即 $X\sim \pi (2t)$ ，其中t表示外出的总时间，分布律为 $P\{ X=k\} =\dfrac {{(2t)}^{k}{e}^{-2t}}{k!}$ ，k=0,1,2,......
步骤 2：计算10分钟内电话铃响一次的概率
当外出时间为10分钟，即 $t=\dfrac {10}{60}=\dfrac {1}{6}$ 时，电话次数X服从参数为 $2\times \dfrac {1}{6}$ 的泊松分布，即 $X\sim \pi (2\times \dfrac {1}{6})$ 。因此，电话铃响一次的概率为 $P\{ X=1\} =\dfrac {1}{3}{e}^{-\dfrac {1}{3}}$ 。
步骤 3：计算没有电话的概率至少为0.5时的最长时间
设外出最长时间为t(h)，因 $X\sim \pi (2t)$ ，无电话打进的概率为 $P\{ X=0\} ={e}^{-2t}$ 。要使 $P\{ X=0\} ={e}^{-2t}\geqslant 0.5$ ，即要使 ${e}^{2t}\leqslant 2$ ，由此得 $t\leqslant \dfrac {1}{2}\ln 2$ 。
根据题目，电话次数X服从参数为2t的泊松分布，即 $X\sim \pi (2t)$ ，其中t表示外出的总时间，分布律为 $P\{ X=k\} =\dfrac {{(2t)}^{k}{e}^{-2t}}{k!}$ ，k=0,1,2,......
步骤 2：计算10分钟内电话铃响一次的概率
当外出时间为10分钟，即 $t=\dfrac {10}{60}=\dfrac {1}{6}$ 时，电话次数X服从参数为 $2\times \dfrac {1}{6}$ 的泊松分布，即 $X\sim \pi (2\times \dfrac {1}{6})$ 。因此，电话铃响一次的概率为 $P\{ X=1\} =\dfrac {1}{3}{e}^{-\dfrac {1}{3}}$ 。
步骤 3：计算没有电话的概率至少为0.5时的最长时间
设外出最长时间为t(h)，因 $X\sim \pi (2t)$ ，无电话打进的概率为 $P\{ X=0\} ={e}^{-2t}$ 。要使 $P\{ X=0\} ={e}^{-2t}\geqslant 0.5$ ，即要使 ${e}^{2t}\leqslant 2$ ，由此得 $t\leqslant \dfrac {1}{2}\ln 2$ 。