题目
设总体×服从泊松分布×, ×为其样本×和×分别是样本均值和样本方差，则以下统计量中不是×的无偏估计量的是（ ）。( A )×( B ) ×( C ) ×( D ) ×
设总体
服从泊松分布
, 
为其样本
和
分别是样本均值和样本方差，则以下统计量中不是
的无偏估计量的是（ ）。
( A )
( B ) 
( C ) 
( D )
题目解答
答案
由题可得，总体服从泊松分布, 根据
泊松分布的期望和方差均是λ，因此总体均值和方差均是已知的，均为λ。分别计算选项中各个统计量的期望。
对于选项A，是样本均值，因此，我们有
，故选项A是的无偏估计量；
对于选项B，计算期望，
。故选项B也是的无偏估计量；
对于选项C，计算期望，
。故选项C不是的无偏估计量；
对于选项D，是样本方差，根据相关定理，可证明样本方差的期望等于总体方差，总体方差为，因此
，故选项D是的无偏估计量。
综上，可得本题答案选C。
解析
步骤 1：理解泊松分布的性质
泊松分布的期望和方差均是λ，因此总体均值和方差均是已知的，均为λ。我们需要计算每个选项中统计量的期望，以确定它们是否是λ的无偏估计量。
步骤 2：计算选项A的期望
对于选项A，是样本均值，因此，我们有$(\overline {X})=E(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}Xi)$
$=\dfrac {1}{n}E(\sum _{i=1}^{n}{X}_{i})=\dfrac {1}{n}\cdot n\lambda =\lambda $，故选项A是的无偏估计量。
步骤 3：计算选项B的期望
对于选项B，计算期望，$g(2{x}_{1}-{x}_{n})=E(2{x}_{1})-{E}_{n}({x}_{n})$
$=2E({X}_{1})-E({X}_{n})=2\lambda -\lambda =\lambda $。故选项B也是的无偏估计量。
步骤 4：计算选项C的期望
对于选项C，计算期望，$(2{x}_{1}+{x}_{n})=E(2{x}_{1})+{Q}_{n}({X}_{n})$
$=2E({X}_{1})+E({X}_{n})=2\lambda +\lambda =3\lambda $。故选项C不是的无偏估计量。
步骤 5：计算选项D的期望
对于选项D，是样本方差，根据相关定理，可证明样本方差的期望等于总体方差，总体方差为，因此$E({S}^{2})=\lambda $，故选项D是的无偏估计量。
泊松分布的期望和方差均是λ，因此总体均值和方差均是已知的，均为λ。我们需要计算每个选项中统计量的期望，以确定它们是否是λ的无偏估计量。
步骤 2：计算选项A的期望
对于选项A，是样本均值，因此，我们有$(\overline {X})=E(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}Xi)$
$=\dfrac {1}{n}E(\sum _{i=1}^{n}{X}_{i})=\dfrac {1}{n}\cdot n\lambda =\lambda $，故选项A是的无偏估计量。
步骤 3：计算选项B的期望
对于选项B，计算期望，$g(2{x}_{1}-{x}_{n})=E(2{x}_{1})-{E}_{n}({x}_{n})$
$=2E({X}_{1})-E({X}_{n})=2\lambda -\lambda =\lambda $。故选项B也是的无偏估计量。
步骤 4：计算选项C的期望
对于选项C，计算期望，$(2{x}_{1}+{x}_{n})=E(2{x}_{1})+{Q}_{n}({X}_{n})$
$=2E({X}_{1})+E({X}_{n})=2\lambda +\lambda =3\lambda $。故选项C不是的无偏估计量。
步骤 5：计算选项D的期望
对于选项D，是样本方差，根据相关定理，可证明样本方差的期望等于总体方差，总体方差为，因此$E({S}^{2})=\lambda $，故选项D是的无偏估计量。