题目

8.1 证明对p=3个标准化随机变量Z_(1),Z_(2)和Z_(3)的协方差矩阵rho=}1.0&0.63&0.450.63&1.0&0.350.45&0.35&1.0可以由m=1的因子模型}Z_(1)=0.9F_(1)+epsilon_(1)Z_(2)=0.7F_(1)+epsilon_(2)Z_(3)=0.5F_(1)+epsilon_(3)来生成，其中Var(F_(1))=1,Cov(epsilon,F_(1))=0，且Psi=Cov(epsilon)=}0.19&0&00&0.51&00&0&0.75也即，将rho写成形式rho=LL^prime+Psi.

8.1 证明对p=3个标准化随机变量$Z_{1},Z_{2}$和$Z_{3}$的协方差矩阵 $\rho=\begin{bmatrix}1.0&0.63&0.45\\0.63&1.0&0.35\\0.45&0.35&1.0\end{bmatrix}$ 可以由m=1的因子模型 $\begin{cases}Z_{1}=0.9F_{1}+\epsilon_{1}\\Z_{2}=0.7F_{1}+\epsilon_{2}\\Z_{3}=0.5F_{1}+\epsilon_{3}\end{cases}$ 来生成，其中$Var(F_{1})=1,Cov(\epsilon,F_{1})=0$，且 $\Psi=Cov(\epsilon)=\begin{bmatrix}0.19&0&0\\0&0.51&0\\0&0&0.75\end{bmatrix}$ 也即，将$\rho$写成形式$\rho=LL^{\prime}+\Psi$.

题目解答

答案

为了证明给定的协方差矩阵 $\rho$ 可以由具有一个因子 $F_1$ 的因子模型生成，我们需要将 $\rho$ 表达为形式 $\rho = LL' + \Psi$，其中 $L$ 是因子载荷矩阵，$\Psi$ 是特殊方差矩阵。 给定的协方差矩阵 $\rho$ 为： \[ \rho = \begin{bmatrix} 1.0 & 0.63 & 0.45 \\ 0.63 & 1.0 & 0.35 \\ 0.45 & 0.35 & 1.0 \end{bmatrix} \] 因子模型为： \[ \begin{cases} Z_1 = 0.9F_1 + \epsilon_1 \\ Z_2 = 0.7F_1 + \epsilon_2 \\ Z_3 = 0.5F_1 + \epsilon_3 \end{cases} \] 从这个模型中，我们可以识别出因子载荷矩阵 $L$： \[ L = \begin{bmatrix} 0.9 \\ 0.7 \\ 0.5 \end{bmatrix} \] 特殊方差矩阵 $\Psi$ 给定为： \[ \Psi = \begin{bmatrix} 0.19 & 0 & 0 \\ 0 & 0.51 & 0 \\ 0 & 0 & 0.75 \end{bmatrix} \] 接下来，我们需要计算 $LL'$： \[ LL' = \begin{bmatrix} 0.9 \\ 0.7 \\ 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.9 & 0.7 & 0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.9^2 & 0.9 \cdot 0.7 & 0.9 \cdot 0.5 \\ 0.7 \cdot 0.9 & 0.7^2 & 0.7 \cdot 0.5 \\ 0.5 \cdot 0.9 & 0.5 \cdot 0.7 & 0.5^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.81 & 0.63 & 0.45 \\ 0.63 & 0.49 & 0.35 \\ 0.45 & 0.35 & 0.25 \end{bmatrix} \] 现在，我们将 $LL'$ 和 $\Psi$ 相加： \[ LL' + \Psi = \begin{bmatrix} 0.81 & 0.63 & 0.45 \\ 0.63 & 0.49 & 0.35 \\ 0.45 & 0.35 & 0.25 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.19 & 0 & 0 \\ 0 & 0.51 & 0 \\ 0 & 0 & 0.75 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.81 + 0.19 & 0.63 + 0 & 0.45 + 0 \\ 0.63 + 0 & 0.49 + 0.51 & 0.35 + 0 \\ 0.45 + 0 & 0.35 + 0 & 0.25 + 0.75 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.0 & 0.63 & 0.45 \\ 0.63 & 1.0 & 0.35 \\ 0.45 & 0.35 & 1.0 \end{bmatrix} \] 我们看到 $LL' + \Psi = \rho$。因此，协方差矩阵 $\rho$ 确实可以由具有一个因子的因子模型生成。 最终答案是： \[ \boxed{\rho = LL' + \Psi} \]

解析

本题考查因子模型中协方差矩阵的分解，解题思路是根据给定的因子模型确定因子载荷矩阵 $L$ 和特殊方差矩阵 $\Psi$，然后计算 $LL'$，最后验证 $LL' + \Psi$ 是否等于给定的协方差矩阵 $\rho$。

  1. 确定因子载荷矩阵 $L$：
    由因子模型 $\begin{cases}Z_{1}=0.9F_{1}+\epsilon_{1}\\Z_{2}=0.7F_{1}+\epsilon_{2}\\Z_{3}=0.5F_{1}+\epsilon_{3}\end{cases}$ 可知，因子载荷矩阵 $L$ 为：
    $L = \begin{bmatrix} 0.9 \\ 0.7 \\ 0.5 \end{bmatrix}$
  2. 计算 $LL'$：
    根据矩阵乘法规则，$LL'$ 为：
    $LL' = \begin{bmatrix} 0.9 \\ 0.7 \\ 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.9 & 0.7 & 0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.9\times0.9 & 0.9\times0.7 & 0.9\times0.5 \\ 0.7\times0.9 & 0.7\times0.7 & 0.7\times0.5 \\ 0.5\times0.9 & 0.5\times0.7 & 0.5\times0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.81 & 0.63 & 0.45 \\ 0.63 & 0.49 & 0.35 \\ 0.45 & 0.35 & 0.25 \end{bmatrix}$
  3. 计算 $LL' + \Psi$：
    已知特殊方差矩阵 $\Psi = \begin{bmatrix} 0.19 & 0 & 0 \\ 0 & 0.51 & 0 \\ 0 & 0 & 0.75 \end{bmatrix}$，将 $LL'$ 和 $\Psi$ 相加：
    $LL' + \Psi = \begin{bmatrix} 0.81 & 0.63 & 0.45 \\ 0.63 & 0.49 & 0.35 \\ 0.45 & 0.35 & 0.25 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.19 & 0 & 0 \\ 0 & 0.51 & 0 \\ 0 & 0 & 0.75 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.81 + 0.19 & 0.63 + 0 & 0.45 + 0 \\ 0.63 + 0 & 0.49 + 0.51 & 0.35 + 0 \\ 0.45 + 0 & 0.35 + 0 & 0.25 + 0.75 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.0 & 0.63 & 0.45 \\ 0.63 & 1.0 & 0.35 \\ 0.45 & 0.35 & 1.0 \end{bmatrix}$
    可以看到 $LL' + \Psi = \rho$，所以协方差矩阵 $\rho$ 可以由给定的因子模型生成。