题目
39.（单选题，2.0分） 设X_(1),X_(2)为来自总体Xsim N(mu,sigma^2)的一个样本，hat(mu)=aX_(1)+bX_(2)，则a,b满足（）条件时，hat(mu)是mu的无偏估计量且有效估计量.A. a^2+b^2取值越小越有效；B. a=(1)/(2),b=(1)/(2);C. a+b=1;D. a^2+b^2=1;
39.（单选题，2.0分） 设$X_{1},X_{2}$为来自总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$的一个样本，$\hat{\mu}=aX_{1}+bX_{2}$，则a,b满足（）条件时，$\hat{\mu}$是$\mu$的无偏估计量且有效估计量.
A. $a^{2}+b^{2}$取值越小越有效；
B. $a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{2}$;
C. a+b=1;
D. $a^{2}+b^{2}=1$;
题目解答
答案
B. $a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{2}$;
解析
考查要点：本题主要考查无偏估计量和有效估计量的定义及构造方法，涉及正态总体样本的线性组合性质。
解题核心思路：
- 无偏性：要求估计量的期望等于被估计参数，即$E(\hat{\mu}) = \mu$，由此可得$a + b = 1$。
- 有效性：在无偏条件下，方差最小的估计量是最有效的。通过优化$a^2 + b^2$在约束$a + b = 1$下的最小值，确定$a$和$b$的具体取值。
破题关键点：
- 无偏条件直接推导出$a + b = 1$。
- 方差最小化需利用代数方法或优化技巧，证明当$a = b = \frac{1}{2}$时，$a^2 + b^2$取得最小值。
无偏性分析
估计量$\hat{\mu} = aX_1 + bX_2$的期望为：
$E(\hat{\mu}) = aE(X_1) + bE(X_2) = a\mu + b\mu = (a + b)\mu.$
要使$\hat{\mu}$无偏，需满足$E(\hat{\mu}) = \mu$，即：
$a + b = 1.$
有效性分析
在无偏条件下，估计量的方差为：
$\text{Var}(\hat{\mu}) = a^2\text{Var}(X_1) + b^2\text{Var}(X_2) = (a^2 + b^2)\sigma^2.$
为使方差最小，需在$a + b = 1$的约束下，最小化$a^2 + b^2$。
优化过程：
- 将$b = 1 - a$代入$a^2 + b^2$，得：
$a^2 + (1 - a)^2 = 2a^2 - 2a + 1.$ - 对$a$求导并令导数为零：
$\frac{d}{da}(2a^2 - 2a + 1) = 4a - 2 = 0 \implies a = \frac{1}{2}.$ - 此时$b = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，对应的$a^2 + b^2 = \frac{1}{2}$，为最小值。
结论：当$a = \frac{1}{2}$且$b = \frac{1}{2}$时，$\hat{\mu}$同时满足无偏性和有效性。