设在总体 N(mu, sigma^2) 中抽得一容量为 16 的样本，这里 mu, sigma^2 均未知.(1) 求 PS^2 / sigma^2 leq 2.041，其中 S^2 为样本方差.(2) 求 D(S^2).

(1) 由题意，$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，其中 $n=16$，故自由度为15。
$P\left\{\frac{S^2}{\sigma^2} \leqslant 2.041\right\} = P\left\{\chi^2(15) \leqslant 15 \times 2.041 = 30.615\right\}$
查卡方分布表得 $\chi^2_{0.01}(15) = 30.578$，故 $P\{\chi^2(15) \leqslant 30.615\} \approx 0.99$。
答案： $0.99$

(2) 由卡方分布性质，$D\left(\frac{15S^2}{\sigma^2}\right) = 2 \times 15 = 30$，利用方差性质得
$D(S^2) = \frac{30\sigma^4}{225} = \frac{2\sigma^4}{15}$
答案： $\frac{2\sigma^4}{15}$

$\boxed{\begin{array}{cc}\text{(1) } 0.99 \\\text{(2) } \frac{2\sigma^4}{15}\end{array}}$