题目
10.求函数 =(x)^2+(y)^2+2x+y 在区域 :(x)^2+(y)^2leqslant 1 上的最大值与最小值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求函数的偏导数
函数 $z={x}^{2}+{y}^{2}+2x+y$ 的偏导数为：
$\dfrac {\partial z}{\partial x}=2x+2$
$\dfrac {\partial z}{\partial y}=2y+1$
步骤 2：求驻点
令偏导数等于0，求解方程组：
$\left \{ \begin{matrix} \dfrac {\partial z}{\partial x}=2x+2=0\\ \dfrac {\partial z}{\partial y}=2y+1=0\end{matrix} \right.$
解得驻点为 $(-1,-\dfrac {1}{2})$。
步骤 3：求边界上的极值
边界为 $x^2+y^2=1$，使用拉格朗日乘数法，令 $L(x,y,\lambda )=1+2x+y+\lambda ({x}^{2}+{y}^{2}-1)$，则有：
$\left \{ \begin{matrix} {L}_{x}=2+2\lambda x=0,\\ {L}_{y}=1+2y\lambda =0,\\ {L}_{\lambda }={x}^{2}+{y}^{2}-1=0\end{matrix} \right.$
解得驻点为 $(-\dfrac {2}{\sqrt {5}},-\dfrac {1}{\sqrt {5}})$ 和 $(\dfrac {2}{\sqrt {5}},\dfrac {1}{\sqrt {5}})$。
步骤 4：比较驻点和边界点的函数值
将驻点和边界点的坐标代入原函数 $z={x}^{2}+{y}^{2}+2x+y$，计算函数值，比较大小，得到最大值和最小值。
函数 $z={x}^{2}+{y}^{2}+2x+y$ 的偏导数为：
$\dfrac {\partial z}{\partial x}=2x+2$
$\dfrac {\partial z}{\partial y}=2y+1$
步骤 2：求驻点
令偏导数等于0，求解方程组：
$\left \{ \begin{matrix} \dfrac {\partial z}{\partial x}=2x+2=0\\ \dfrac {\partial z}{\partial y}=2y+1=0\end{matrix} \right.$
解得驻点为 $(-1,-\dfrac {1}{2})$。
步骤 3：求边界上的极值
边界为 $x^2+y^2=1$，使用拉格朗日乘数法，令 $L(x,y,\lambda )=1+2x+y+\lambda ({x}^{2}+{y}^{2}-1)$，则有：
$\left \{ \begin{matrix} {L}_{x}=2+2\lambda x=0,\\ {L}_{y}=1+2y\lambda =0,\\ {L}_{\lambda }={x}^{2}+{y}^{2}-1=0\end{matrix} \right.$
解得驻点为 $(-\dfrac {2}{\sqrt {5}},-\dfrac {1}{\sqrt {5}})$ 和 $(\dfrac {2}{\sqrt {5}},\dfrac {1}{\sqrt {5}})$。
步骤 4：比较驻点和边界点的函数值
将驻点和边界点的坐标代入原函数 $z={x}^{2}+{y}^{2}+2x+y$，计算函数值，比较大小，得到最大值和最小值。