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[题目]计算不定积分 int dfrac (ln (sin x))({sin )^2x}dx
题目解答
答案
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解析
步骤 1：应用分部积分法
分部积分法的公式为 $\int u dv = uv - \int v du$。这里，我们选择 $u = \ln (\sin x)$ 和 $dv = \dfrac{1}{{\sin }^{2}x}dx$。因此，$du = \dfrac{\cos x}{\sin x}dx$ 和 $v = -\cot x$。
步骤 2：计算 $uv$
$uv = -\ln (\sin x)\cot x$。
步骤 3：计算 $\int v du$
$\int v du = \int -\cot x \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x}dx = -\int \dfrac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}dx = -\int {\cot }^{2}x dx$。
步骤 4：简化 $\int {\cot }^{2}x dx$
$\int {\cot }^{2}x dx = \int (1 - {\csc }^{2}x)dx = \int dx - \int {\csc }^{2}x dx = x + \cot x + C$。
步骤 5：组合结果
将步骤 2 和步骤 4 的结果组合起来，得到 $\int \dfrac {\ln (\sin x)}{{\sin }^{2}x}dx = -\ln (\sin x)\cot x - (x + \cot x) + C$。
分部积分法的公式为 $\int u dv = uv - \int v du$。这里，我们选择 $u = \ln (\sin x)$ 和 $dv = \dfrac{1}{{\sin }^{2}x}dx$。因此，$du = \dfrac{\cos x}{\sin x}dx$ 和 $v = -\cot x$。
步骤 2：计算 $uv$
$uv = -\ln (\sin x)\cot x$。
步骤 3：计算 $\int v du$
$\int v du = \int -\cot x \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x}dx = -\int \dfrac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}dx = -\int {\cot }^{2}x dx$。
步骤 4：简化 $\int {\cot }^{2}x dx$
$\int {\cot }^{2}x dx = \int (1 - {\csc }^{2}x)dx = \int dx - \int {\csc }^{2}x dx = x + \cot x + C$。
步骤 5：组合结果
将步骤 2 和步骤 4 的结果组合起来，得到 $\int \dfrac {\ln (\sin x)}{{\sin }^{2}x}dx = -\ln (\sin x)\cot x - (x + \cot x) + C$。